Supongamos que M y N sean modelos transitivos de ZFC, tales que para cada conjunto x de los números ordinales, $x \in M \iff x \in N$. Quiero mostrar M=N. por lo Que será suficiente para mostrar $M \subset N$ por la simetría. Yo estaba pensando en asumir el contrario, y dejar que $x \in M$, $x \notin N$ ser de menos rango. Así, sabemos que para todos los $y \in x$, $y \in N$. Así que ahora sólo necesita mostrar que estos $y$'s forma un conjunto en N. Si hubo una función en N la enumeración de estos $y$'s cuyo dominio es un ordinal, podría solicitar la sustitución y sea hecho. Todavía no he utilizado la hipótesis de los modelos que tienen el mismo conjunto de ordinales, y no estoy seguro de cómo proceder.
Respuesta
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Sugerencia: Tomar cualquier conjunto de $x\in M$, se muestran por conocer $\operatorname{tc}(\{x\})$ sabemos qué $x$; luego use el axioma de la opción para buscar un conjunto de números ordinales $A$ tal que descifrando $A$ en un conjunto de pares ordenados de números ordinales, obtenemos una estructura isomorfa a $\operatorname{tc}(\{x\})$, finalmente utilice lema de colapso de Mostowski.
