¿Son convexas las intersecciones contables de conjuntos convexos?

Question

Que $X$ sea un espacio de Banach $\{C_n\colon n\in\mathbb N\}$ un ofconvex de la colección define en $X$. ¿Es el conjunto de $$C=\bigcap_{n\in\mathbb N}C_n$ $ convexo?

Answer 1

Supongamos a continuación $x,y\in C$ $x,y\in C_n$ % todos $n\in\mathbb{N}$. Ahora como $C_n$ es convexo por lo tanto todos $0\leq\lambda\leq 1$ tenemos $\lambda x+(1-\lambda)y\in C_n$ cada $n$. Así $\lambda x+(1-\lambda)y\in C$. Así $C$ es convexo

Answer 2

De hecho, cualquier intersección de conjuntos convexos en este ajuste es convexo. Supongamos que $\mathcal{E}$ es un espacio de Banach y que $\mathcal{K}$ es una familia de conjuntos convexos. Si $\bigcap\mathcal{K}$ es vacío, es vacuously convexo. De lo contrario, tomar $x,y\in\bigcap\mathcal{K}$, $\lambda\in[0,1]$ y $K\in \mathcal{K}$. Desde $K$ es convexo, tenemos $$(1-\lambda)x + \lambda y\in K.$ $ pero esto es para cualquier $K\in \mathcal{K}$, que $$(1-\lambda)x + \lambda y\in \bigcap \mathcal{K}.$ $

No hay inducción o secuencial propiedad aquí. De hecho, la discusión se generaliza a cualquier espacio verdadero del vector.