Considere la posibilidad de la declaración:
La métrica Euclidiana en $\mathbb{R}^n$ es la rotación invariable.
Yo interpreto que esto significa (es esta la interpretación correcta?):
La métrica Euclidiana en $\mathbb{R}^n$ es invariante bajo la acción del grupo ortogonal $O(n)$.
Sin embargo, el grupo ortogonal $O(n)$ se define en términos de la métrica Euclidiana (como el grupo de todos los mapas de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ que conservar la distancia Euclídea y fijar el origen).
Esto sugiere que estamos implícitamente mediante la siguiente definición de "rotación":
Las rotaciones son el conjunto de todos (de la orientación de la conservación) isometrías de $\mathbb{R}^n$ que fijar el origen.
Pregunta: ¿por Qué es el primer reclamo de "la métrica Euclidiana en $\mathbb{R}^n$ es la rotación invariable" notable/no trivial si estamos implícitamente el uso de esta definición/concepto de la rotación?
(I. e., por supuesto, la métrica se conserva por un grupo de isometrías.)
Cuando se definen las "rotaciones", ¿no estamos implícitamente la elección preferida, la métrica en la $\mathbb{R}^n$?
/Pregunta
Ejemplo esclarecedor: En contraste,
El taxi métrica en $\mathbb{R}^n$ no es rotación invariable.
En otras palabras,
El taxi métrica en $\mathbb{R}^n$ no es invariante bajo la acción de $O(n)$.
Pero lo que si consideramos que, en lugar de $O(n)$, lo que voy a llamar a $T(n)$ ("taxi ortogonal grupo") de todos los mapas de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ que preservar en taxi de distancia y fijar el origen?
Parece bastante claro que tenemos:
El taxi métrica en $\mathbb{R}^n$ es invariante bajo $T(n)$.
o en otras palabras
El taxi métrica en $\mathbb{R}^n$ es "taxi-rotación invariable".
Nota: Este es un muy tonta la pregunta, así que si usted tiene alguna sugerencia de cómo podría ser mejorado, o si sólo debe ser eliminada, por favor decirlo así (muy bien).
