$H_p(\mathbb{R}P^3 \times \mathbb{R}P^2)$

Question

Estoy trabajando a través de un ejemplo de la fórmula de Kunneth en mi libro. Sin mostrar ningún trabajo indica que $X = \mathbb{R}P^3 \times \mathbb{R}P^2$

$$H_p (X) =\begin{cases} \mathbb{Z} & \mbox{if } p=0\\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \mbox{if } p=1 \\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \mbox{if } p=2 \\ \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} & \mbox{if } p=3 \\ 0 & \mbox{if } p\ge 4 \end{casos}$$

Estoy de acuerdo $0 \le p \le 3$ y $p=4$ ¿no tenemos alguna contribución de $H_3(\mathbb{R}P^3) \otimes H_1(\mathbb{R}P^2)=\mathbb{Z}\otimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$?

Answer 1

Usted es correcto. Al principio pensé que estaban descuidando la parte de Tor de la secuencia de Künneth exactas, pero en grado $4$ todos los términos de #% de #% % desaparecen.