¿Tomando el $\nabla\times$ veces infinito de un vector arbitrario existe?

Question

Es posible obtener el valor de:

\begin{equation} \underbrace{\left[\nabla\times\left[\nabla\times\left[\ldots\nabla\times\right.\right.\right.}_{\infty\text{-times taking curl operator}}\mathbf{V}\left.\left.\left.\right]\right]\ldots\right] = ? \end{equation}

Para cualquier valor posible del vector $\mathbf{V}$.

Answer 1

Para un general de campo vectorial $\mathbf{V}$, esta secuencia no necesitan converger. Considerar, por ejemplo,$\mathbf{V} = (e^{x-y}, e^{x-y}, 0)$. Tenemos $\nabla \times \mathbf{V} = \mathbf{W} = (0,0,2 e^{x-y})$, e $\nabla \times \mathbf{W} = -2 \mathbf{V}$, y el ciclo se repite luego con un factor de $-2$.

Vale la pena señalar que esta operación es "antinatural" desde el punto de vista de formas diferenciales; el rizo es realmente el $d$ operador de tomar 1-formas de 2 formas; es sólo que en $\mathbb{R}^3$, tanto 1-formas y de 2 formas pueden ser vistos como campos vectoriales. Pero el resultado de la curvatura del operador es una 2-forma, que no es algo que tiene sentido tomar el bucle. Las otras relaciones que mencionas en tu comentario no sufren este problema: grad toma 0-formas a las 1-formas (por lo curl grad tiene sentido) y div tarda de 2-formas 3-formularios (así div curl tiene sentido), y ambos son casos especiales de el hecho de que $d^2 = 0$.

Answer 2

La identidad $$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})-\nabla^2 \mathbf{A} $$ es estándar (donde $\nabla^2$ denota el componente sabio Laplaciano). Aplicando repetidamente a $\nabla \times \mathbf{A}$ y utilizando el hecho de que $\nabla \times (\nabla f)$ se desvanece, podemos ver de forma inductiva que $$ (\nabla \times)^{2n+1}\mathbf{A}=(-1)^n\nabla \times (\nabla^2)^n \mathbf{A} \, . $$

Así, cuando hay alguna esperanza de que su cosa convergentes, será porque las iteraciones de $-\nabla^2$ convergen componente sabio. A grandes rasgos, esto sucederá cuando las transformadas de Fourier de sus componentes son admitidos dentro de cierta esfera apropiada, pero obtener los detalles derecho puede ser difícil (especialmente en los casos donde se incluye alguna pieza de la esfera de la frontera).

Un poco más precisamente, el equivalente a $-\nabla^2$ en el dominio de la frecuencia es la multiplicación por $4\pi^2|\xi|^2$, por lo que si $\operatorname{supp} \hat f \subset \{|\xi|<1/(2\pi)\}$ todo va a converger a $0$. Si $\operatorname{supp} \hat f \subset \{|\xi|\leq 1/(2\pi)\}$ todo debe convergen todavía; si $\hat f$ es una distribución con positiva de masa en el límite de la esfera que deben converger para que, pero el análisis es bastante repulsivo que no quiero decir nada definitivo...

Entonces usted tiene que preocuparse por el, incluso se itera, que se puede obtener mediante la sustitución de $\mathbf{A}$ $\nabla \times\mathbf{A}$ en todas partes en la anterior identidad; no hay ninguna razón real por la que el par y el impar recorre debe tener mucho que ver el uno con el otro. Por otro lado, en el buen caso todo va a converger a$0$, de todos modos, por lo que esto no importa realmente.

Answer 3

Dos aplicaciones de $\nabla$ rendimiento $\nabla \times (\nabla \times F) = -\nabla^2 F + \nabla(\nabla \cdot F)$. Por qué? Así, la configuración de $F = \sum_i F_i e_i$ donde $e_i$ es el estándar cartesiano marco de $\mathbb{R}^3$ permite que la fórmula: $$ (\nabla \times F)_k = \sum_{ij} \epsilon_{ijk} \partial_i F_j $$ Curling, una vez más, $$ [\nabla \times (\nabla \times F)]_m = \sum_{kl}\epsilon_{klm}\partial_k\sum_{ij} \epsilon_{ijl} \partial_i F_j $$ Pero, la antismmetric símbolo es constante y podemos escribir esto como $$ [\nabla \times (\nabla \times F)]_m = \sum_{ijkl}\epsilon_{klm}\epsilon_{ijl} \partial_k \partial_i F_j $$ Un hermoso identidad de los estados:
$$ \sum_{l}\epsilon_{klm}\epsilon_{ijl} = -\sum_{l}\epsilon_{kml}\epsilon_{ijl} = -\delta_{ki}\delta_{mj}+\delta_{kj}\delta_{mi}$$ Por lo tanto, $$ [\nabla \times (\nabla \times F)]_m = \sum_{ijk}(-\delta_{ki}\delta_{mj}+\delta_{kj}\delta_{mi}) \partial_k \partial_i F_j = \sum_i [-\partial_i^2F_m+\partial_m(\partial_iF_i)]$$ y la demanda sigue desde $m$ es arbitrario. Ahora, vamos a intentar por 3: $$ \nabla \times (\nabla \times (\nabla \times F)) = \nabla \times \bigl[-\nabla^2 F + \nabla(\nabla \cdot F)\bigr] =\nabla \times (-\nabla^2 F)$$ He utilizado el curl de un gradiente es cero. Esto no necesita ser trivial, tome $F = <x^2z,0,0>$ como un ejemplo. Supongo que me podría haber disparado por un período de cuatro doblado de rizo doblemente la aplicación de la identidad. $$ \nabla \times (\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times F))) =?$$ Set $G = -\nabla^2 F $ ya que sabemos que el gradiente plazo se desvanece, $$ \nabla \times (\nabla \times G) = -\nabla^2 G + \nabla \cdot G = \nabla^2(\nabla^2 F)-\nabla [\nabla \cdot (\nabla^2 F)]$$ Por lo tanto, hay cuatro doblado curl. Bien, no veo ninguna razón por la que este termina. Supongo que se le puede dar un nombre. Propongo que se llame (ordenado como el de edición indica) $ \nabla \times \nabla \times \cdots \times \nabla = \top$