Evaluación de $\int \frac{x^2-1}{x\sqrt{x^2+ax+1}\sqrt{x^2+bx+1}} dx$

Question

Se trata de evaluar $$\int \frac{x^2-1}{x\sqrt{x^2+ax+1}\sqrt{x^2+bx+1}} dx$$

He intentado reescribir la integral como $$\frac{ab}{b-a}\int \frac{1/a(x^2+ax+1)-1/b(x^2+bx+1)}{x\sqrt{x^2+ax+1}\sqrt{x^2+bx+1}} dx-2\int \frac{1}{x\sqrt{x^2+ax+1}\sqrt{x^2+bx+1}} dx$$ Para la segunda integral la reescribo como $$\int \frac{1}{x^3\sqrt{\frac1{x^2}+\frac{a}{x}+1}\sqrt{\frac1{x^2}+\frac{b}{x}+1}} dx$$ Ahora he utilizado la sustitución $x\to 1/x$ ceder $$-\int \frac{1}{x\sqrt{x^2+ax+1}\sqrt{x^2+bx+1}} dx$$ lo que hace que la segunda integral se desvanezca.Sin embargo no pude proceder con la primera integral.Alguna idea.Gracias.

Answer 1

Supongamos que $x>0$ . Dejar $x+\frac{1}{x}\to u$ y luego $du=(1-\frac{1}{x^2})dx$ se tiene \begin{eqnarray} &&\int \frac{x^2-1}{x\sqrt{x^2+ax+1}\sqrt{x^2+bx+1}} dx\\ &=&\int\frac{1-\frac1{x^2}}{\sqrt{x+a+\frac{1}{x}}\sqrt{x+b+\frac{1}{x}}} dx\\ &=&\int\frac{1}{\sqrt{u+a}\sqrt{u+b}}du\\ &=&\int\frac{1}{\sqrt{(u+\frac{a+b}2)^2-(\frac{a-b}{2})^2}}du\\ \end{eqnarray} No es difícil conseguir la integral. Omito el detalle.