¿Por qué esta fácil "demostración" del Teorema del Punto Fijo de Brouwer no es correcta/común?

Question

El teorema del punto fijo de Brouwer afirma, esencialmente, que cualquier función continua sobre un disco cerrado a sí mismo tiene un punto fijo. Conozco la demostración basada en la imposibilidad de una retracción de un disco a su frontera y la demostración basada en el Lemma de Sperner. La Wikipedia enumera otras pruebas.

Sin embargo, parece que hay una "prueba" más sencilla -citada porque podría ser errónea- que no utiliza ninguna maquinaria extravagante y me pregunto si es correcta y, si lo es, por qué no es bien conocida.

Demostraremos que cualquier continuo $f : [0, 1]^n \rightarrow [0, 1]^n$ tiene un punto fijo por inducción en $n$ . $n = 1$ equivale al Teorema del Valor Intermedio. En $n > 1$ nuestro espacio es $[0, 1] \times [0, 1]^{n-1}$ . Por el caso 1-d, para cada $\mathbf{u} \in [0, 1]^{n-1}$ , $x \mapsto f(x, \mathbf{u})_1$ el primer componente de $f(x, \mathbf{u})$ tiene un punto fijo $x$ . Por continuidad de $f$ podemos elegir este punto fijo, $x(\mathbf{u})$ para variar continuamente en $\mathbf{u}$ . Por el $(n-1)$ -d, para cada $y \in [0, 1]$ , $\mathbf{v} \mapsto f(y, \mathbf{v})_{2, \ldots, n}$ tiene un punto fijo $\mathbf{v}$ y podemos dejar que $\mathbf{v}(y)$ varían continuamente.

Si $x(\mathbf{v}(0)) = 0$ entonces $(0, \mathbf{v}(0))$ es un punto fijo de $f$ ; de forma similar para 1. En caso contrario, dejemos que $X = \{(x(\mathbf{u}), \mathbf{u}) \mid u \in [0, 1]^{n-1}\}$ . $X$ es la gráfica de una función continua por lo que es cerrada y $[0, 1]^n \setminus X$ está abierto. Además, $\mathbf{v}(0)$ y $\mathbf{v}(1)$ están en diferentes componentes de $[0, 1]^n \setminus X$ así que por un argumento como la prueba del Teorema del Valor Intermedio, $\mathbb{v}$ debe cruzar $X$ en algún punto, que es un punto fijo de $f$ .

Answer 1

En general, $x(\mathbf{u})$ no puede ser elegido para ser continuo. He aquí un sencillo contraejemplo en $\mathbb R^2$ :

$$f(x,y) = \begin{cases} 2xy, & \text{if } y \le \frac12 \\ 1-2(1-x)(1-y), & \text{if } y \ge \frac12 \end{cases}$$

Si $y < \frac12$ el único fijo $x$ es $x=0$ ; si $y > \frac12$ el único fijo $x$ es $x=1$ . (Si $y=\frac12$ entonces $f(x,y)=x$ fija todos los puntos en $[0,1]$ .)

Answer 2

Creo que tu prueba funciona bien, siempre que los puntos fijos implicados sean todos únicos. ¿Y si el mapa que toma $x$ a $(x, \mathbf {u} )$ tiene múltiples puntos fijos, por lo que su $x (\mathbf {u})$ ¿está mal definida? Puede que no haya una curva continua de puntos fijos en todo el espacio.