Demuestran que conjuntos de números reales $A, B$ % adyacentes iff $\sup A = \inf B$

Question

Si $A,B \subset \mathbb{R}$ satisfacer : $$\begin{cases}\forall\ a \in A,\ \forall\ b \in B,\ a \le b \cr \forall\ \epsilon > 0,\ \exists\ a \in A,\ \exists\ b \in B \text{ such that }\quad b-a \le \epsilon\end{casos}$$ entonces decimos que la $A$ $B$ son adyacentes.

Mostrar que $A$ $B$ son adyacentes si y sólo si : $\sup(A) = \inf(B)$.

Mis pensamientos :

tenga en cuenta que :

$$\sup A = \begin{cases}\forall\ a \in A,\ ,\ a \le \sup A \cr \forall\ \epsilon > 0,\ \exists\ a \in A,\ \text{ such that }\quad \epsilon-\sup A < a\le \epsilon\end {casos}$$

$$\inf B =: \begin{cases}\forall\ b \in B,\ ,\ \inf B \le b \cr \forall\ \epsilon > 0,\ \exists\ b \in B,\ \text{ such that }\quad \inf B \le b < \inf B+\epsilon\end{casos}$$

• Para mostrar la primera implicación :

Suponga que $A$ $B$ son adyacentes y vamos a demostrar que $\sup(A)$, e $\inf(B)$ existe tal que $\sup(A) = \inf(B)$.

• Demuestra en primer lugar que $\sup(A)$, e $\inf(B)$ existe :

Deje $b\in B$, $$\forall a\in A,\quad a \le b$$ entonces b es cota superior, $A \neq \emptyset, A \subseteq \mathbb{R}$ $\sup(A)$ existen.

Deje $a\in A$, $$\forall b\in B,\quad a \le b$$ entonces a es el límite Inferior, $B \neq \emptyset, B \subseteq \mathbb{R}$ $\inf(B)$ existen.

• Demuestra en primer lugar que $\sup(A)=\inf(B)$:

tenemos :$$\forall\ \epsilon > 0,\ \exists\ a \a,\ \exists\ b \B \text{ tal que }\quad b-a \le \epsilon$$

o $$\forall\ \epsilon > 0,\ \exists\ a,b \in A\times B,\ \text{ tal que }$$ $$ \begin{cases}\epsilon-\sup A < a\le \epsilon \cr \inf B \le b < \inf B+\epsilon\end{casos}$$ $$\iff \begin{cases}-\sup A < a\le \sup A-\epsilon\cr \inf B \le b < \inf B+\epsilon\end{casos}$$ $$\iff \inf B-\sup A < b-a < \sup A+\inf B $$ $$\iff \inf B-\sup A < \epsilon \quad \forall \epsilon > 0 $$ estoy stuk aquí

o podemos decir :

desde $\forall a,b \in A\times B \quad a\leq b $ $\forall b\in B,\quad \sup A \leq b$

$$\sup A \leq \inf B **(1)** $$

tenemos :$$\forall\ \epsilon > 0,\ \exists\ a \a,\ \exists\ b \B \text{ tal que }\quad b-a \le \epsilon$$ entonces :$$\forall\ \epsilon > 0,\ \exists\ a \a,\ \exists\ b \B \text{ tal que }\quad b<a+\epsilon $$ entonces :$$\forall\ \epsilon > 0,\ \exists\ a \a,\ \exists\ b \B \text{ tal que }\quad \inf B \le \sup a + \epsilon $$

A continuación, $$\inf B \le \sup A **(2)**$$

A partir de (1) y (2) $$ \inf B=\sup A $$

• Para mostrar la segunda implicación :

Suponga que $\sup(A)$, e $\inf(B)$ existe tal que $\sup(A) = \inf(B)$ y vamos a demostrar que $A$ $B$ son adyacentes

• Para mostrar : $$\forall\ a \in A,\ \forall\ b \in B,\ a \le b $$

a partir de la definición de $\sup A$ $\inf B$ tenemos: $$ \forall\ a \in A,\ ,\ a \le \sup A \text{ and } \forall\ b \in B,\ ,\ \inf B \le b$$ o sabemos que $\sup(A) = \inf(B)$ a continuación, $$\forall\ a \in A,\ \forall\ b \in B,\ a \le \sup A =\inf B\le b $$

• Para mostrar : $$ \forall\ \epsilon > 0,\ \exists\ a \a,\ \exists\ b \B \text{ tal que }\quad b-a \le \epsilon $$

a partir de la definición de $\sup A$ $\inf B$ tenemos: $$ \ \forall\ \epsilon > 0,\ \exists\ a \in A,\ \text{ such that }\quad \epsilon-\sup A < a\le \epsilon \text{ and } \forall\ \epsilon > 0,\ \exists\ b \in B,\ \text{ such that }\quad \inf B \le b < \inf B+\epsilon$$

también podemos decir que :

$$\forall\ \epsilon > 0,\ \exists\ a,b \in A\times B,\ \text{ dígale que } \begin{cases}\frac{ \epsilon }{2}-\sup A < a\le \frac{ \epsilon }{2}\cr \inf B \le b < \inf B+\frac{ \epsilon }{2}\end{casos}$$ cualquier ayuda se agradece !!

Answer 1

Sugerencia: Si toma de $\sup A<\inf B$ $\epsilon<\inf B-\sup A$. A la inversa la posibilidad de definición de $\sup$ y $\inf$ con el valor $\epsilon/2$.

Answer 2

Su argumento podría ser correcta, pero es tan torpe que lleva cerca de dos páginas impresas. Usted puede utilizar libremente las definiciones de $\sup$ $\inf$ así como sus propiedades estándar, por ejemplo, si $z<\sup A$, entonces hay un $a\in A$$z<a\leq\sup A$.

Deje que los dos conjuntos no vacíos $A$, $B\subset{\mathbb R}$ ser dado.

(I) Si $\sup A=\sigma =\inf B$ $a\leq\sigma\leq b$ todos los $a\in A$ y todos los $b\in B$. Además, para cada una de las $\epsilon>0$, hay un $a'\in A$$b'\in B$$\sigma-{\epsilon\over2}<a'\leq\sigma\leq b'<\sigma+{\epsilon\over2}$. De ello se desprende que $b'-a'<\epsilon$ donde $A$ $B$ son adyacentes.

(II) Si $A$ $B$ son adyacentes, a continuación, $a\leq b$ para todos los $a\in A$, $b\in B$. De ello se sigue que cualquier $b\in B$ es un límite superior para $A$, de donde $\alpha:=\sup A\leq b$ todos los $b\in B$. Esta dice que el $\alpha$ es un límite inferior para $B$ y permite concluir que el $\alpha\leq\beta:=\inf B$. Ahora vamos a una $\epsilon>0$ ser dado. Hay un $a'\in A$$b'\in B$$b'-a'<\epsilon$. De ello se desprende que $a'\leq \alpha\leq\beta\leq b'<a'+\epsilon$, y esto implica $\beta-\alpha<\epsilon$. Desde $\epsilon>0$ era arbitraria, podemos concluir que, de hecho,$\alpha=\beta$.

Answer 3

La prueba se inicia correctamente, mostrando a la existencia de $\sup A$ $\inf B$ empezando con la suposición de que $A, B$ son adyacentes. Para ser sincero, después de este paso se han perdido en algún lugar de $\epsilon$'s. Y lo mejor es señalar la razón por la que han perdido así.

Real no es un análisis de la derivación de símbolos extraños como $\forall, \exists, \epsilon, \delta$ más bien es la comprensión de relaciones de orden $(< , >)$ en el campo de los números reales. Símbolos como $\forall, \exists$ pertenece a la "lógica matemática" y son más adecuados para las preguntas de ese tema. Recuerde que en última instancia todas las pruebas en matemáticas están en lo profundo de un ejercicio de lógica matemática , pero buscando en la manera en todas las pruebas que no va a ayudar en todo.

También otro punto sobre el libro de texto en la que la cuestión de la toma. La definición de adyacencia en la pregunta misma está llena de estos símbolos lógicos y se señala claramente que el libro de texto se centra más en el símbolo de la derivación de comprensión de los conceptos. Por CIERTO, es un típico problema con el análisis moderno de los textos (la justificación de intentar meter más material en menos número de páginas).

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Yo reformular la pregunta de la siguiente manera:

Dos no vacía de conjuntos de $A, B$ de los números reales se dice que son adyacentes si cada miembro de $A$ es menos que o igual a (o podemos decir "no exceda") a cualquier miembro de $B$ y podemos encontrar a un miembro de $A$ y un miembro de $B$ que son tan cerca uno del otro como queremos. Mostrar que establece $A, B$ son adyacentes si y sólo si $\sup A = \inf B$.

Supongamos que $A, B$ son adyacentes. Entonces, como usted ha empezado con su solución con la que podemos probar que $\sup A, \inf B$ existen. Tenemos que demostrar que son iguales. Ya que cada miembro de $A$ es menor o igual que cualquier miembro de $B$ se deduce que todos los miembros de $B$ servir como límite superior de $A$. Por lo tanto $\sup A$ es menor o igual a todos los miembros de $B$. A continuación, se deduce que el $\sup A$ es un límite inferior para $B$ y, por tanto,$\sup A \leq \inf B$.

Con el fin de mostrar que el$\sup A = \inf B$, se puede usar la técnica de "prueba por contradicción". Supongamos por el contrario que $\sup A < \inf B$ y deje $k = \inf B - \sup A$, de modo que $k > 0$. A continuación, para cada $a \in A$ y cada una de las $b \in B$ tenemos $a \leq \sup A < \inf B \leq b$. Por lo tanto $(b - a) \geq \inf B - \sup A = k > 0$. Por lo tanto no podemos encontrar a un miembro de $A$ y un miembro de $B$ que son tan cerca uno del otro como queremos (su distancia siempre será mayor que o igual al número positivo $k$). De ello se desprende que $A, B$ son no adyacentes. Esta contradicción muestra que $\sup A = \inf B$.

Para probar la otra implicación, supongamos que $\sup A = \inf B$. A continuación, para cada $a \in A$ y cada una de las $b \in B$ tenemos $a \leq \sup A = \inf B \leq b$, de modo que la primera condición de adyacencia de $A, B$ está satisfecho. La próxima nota de que, por definición, de $\sup A$ podemos encontrar un número $a \in A$ tal que $a$ es lo más cercano a $\sup A$ como queremos. Del mismo modo podemos encontrar un número$b \in B$, que es lo más cercano a $\inf B$ como queremos. Desde $\sup A$ $\inf B$ son los mismos (es decir igual a $K$), podemos elegir los números de $a \in A, b \in B$, que es lo más cercano a un número específico $K$ como queremos. Así, tanto los números de $a, b$ debe ser tan cerca el uno del otro como se quiera (Obviamente si dos números son cerca de un tercio el número de ellos no puede estar lejos. Por si $|a - K|$ $|b - K|$ son pequeñas, entonces su suma es también pequeño y $$|a - b| = |(a - K) + (K - b)| \leq |a - K| + |K - b|$$ so that $|a - b|$ is also small.) Thus the second condition for adjacency of $a, B$ is also established and therefore $a, B$ son adyacentes.

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Nota: La formulación de la pregunta y la respuesta correspondiente se evita el símbolo $\epsilon$ por completo, pero esto no conduce a la pérdida de rigor. El símbolo $\epsilon$ sólo representa un número real positivo (y uno puede elegir cualquier otro símbolo como $a, b, c, d$ en su lugar) y su uso más común en real-análisis es cuantificar la distancia entre dos números reales. Por lo tanto la frase "dos números puede ser elegido como cerca el uno del otro como queremos" significa que "para cualquier $\epsilon > 0$ podemos optar $a, b$$|a - b| < \epsilon$". Si el estudiante conoce el significado de la frase "tan cerca como nosotros queremos", entonces él puede (y en mi opinión tal vez debería) evitar el uso de $\epsilon$'s en la solución de pequeños problemas como estos. $\epsilon$'s no son el sustituto de la "comprensión conceptual".