Cómo puedo encontrar las soluciones de $$\alpha x^n = \ln x$$ when $\alpha \in \mathbb{R}$ and $n\in \mathbb{Q}$? Or, if it is not possible to have closed form solutions, how can I prove that there exist one (or there is no solution) and that it is unique? (I'm particularly interested in the cases $n=2$, $n=1$, and $n=1/2$).
Respuestas
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No hay ningún punto en la restricción de la $n$ a un ser racional.
Set $x^n=t$, lo $x=t^{1/n}$ y la ecuación se convierte en $$ \alpha t=\frac{1}{n}\log t $$ o $n\alpha t=\log t$ y lo podemos estudiar el problema $$ kt=\log t $$ Considere la función $$ f(t)=kt-\log t $$ definido por $t>0$. Tenemos $$ \lim_{t\to0}f(t)=\infty $$ y $$ \lim_{t\to\infty}f(t)= \begin{cases} \infty & \text{if %#%#%}\\ -\infty & \text{if %#%#%} \end{casos} $$ (examine).
La derivada es $$ f'(t)=k-\frac{1}{t}=\frac{kt-1}{t} $$ que en todas partes es negativo si $k>0$, por lo que en este caso la ecuación tiene una solución.
Para $k\le 0$, el mínimo se alcanza en$k\le0$$k>0$. Así tenemos
- no hay solución si $1/k$,
- una solución si $f(1/k)=1+\log k$,
- dos soluciones si $k>e^{-1}$.
Desde $k=e^{-1}$, es fácil traducir los resultados en términos de $0<k<e^{-1}$ en los casos $k=n\alpha$, $\alpha$ y $n=2$.
k170
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En el caso de que el $\alpha n\not =0$, tenemos $$\alpha x^n = \ln x$ $ $$ \alpha nx^{n}= n\ln x$ $ $$ \alpha nx^{n}= \ln x^{n}$ $ $$ e^{\alpha nx^{n}} = x^{n}$ $ $$ 1= \frac{x^{n}}{e^{\alpha nx^{n}}}$ $ $$ 1= x^{n}e^{-\alpha nx^{n}} $ $ $$ -\alpha n= -\alpha nx^{n}e^{-\alpha nx^{n}} $ $ $$ W(-\alpha n)= -\alpha nx^{n} $ $ $$ -\frac{W(-\alpha n)}{\alpha n}= x^{n} $ $ $$ x=\left(-\frac{W(-\alpha n)}{\alpha n}\right)^{\frac1n}$ $ $W$ Dónde está la función W de Lambert.
