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Encontrar soluciones de αxn=lnx

Cómo puedo encontrar las soluciones de αxn=lnx when αR and nQ? Or, if it is not possible to have closed form solutions, how can I prove that there exist one (or there is no solution) and that it is unique? (I'm particularly interested in the cases n=2, n=1, and n=1/2).

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egreg Puntos 64348

No hay ningún punto en la restricción de la n a un ser racional.

Set xn=t, lo x=t1/n y la ecuación se convierte en αt=1nlogt o nαt=logt y lo podemos estudiar el problema kt=logt Considere la función f(t)=ktlogt definido por t>0. Tenemos lim y \lim_{t\to\infty}f(t)= \begin{cases} \infty & \text{if %#%#%}\\ -\infty & \text{if %#%#%} \end{casos} (examine).

La derivada es f'(t)=k-\frac{1}{t}=\frac{kt-1}{t} que en todas partes es negativo si k>0, por lo que en este caso la ecuación tiene una solución.

Para k\le 0, el mínimo se alcanza enk\le0k>0. Así tenemos

  • no hay solución si 1/k,
  • una solución si f(1/k)=1+\log k,
  • dos soluciones si k>e^{-1}.

Desde k=e^{-1}, es fácil traducir los resultados en términos de 0<k<e^{-1} en los casos k=n\alpha, \alpha y n=2.

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k170 Puntos 5765

En el caso de que el \alpha n\not =0, tenemos \alpha x^n = \ln x$ $ \alpha nx^{n}= n\ln x \alpha nx^{n}= \ln x^{n}$ $ e^{\alpha nx^{n}} = x^{n} 1= \frac{x^{n}}{e^{\alpha nx^{n}}}$ $ 1= x^{n}e^{-\alpha nx^{n}} -\alpha n= -\alpha nx^{n}e^{-\alpha nx^{n}} $ $ W(-\alpha n)= -\alpha nx^{n} -\frac{W(-\alpha n)}{\alpha n}= x^{n} $ $ x=\left(-\frac{W(-\alpha n)}{\alpha n}\right)^{\frac1n} W Dónde está la función W de Lambert.

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