Encontrar soluciones de $\alpha x^n = \ln x$

Question

Cómo puedo encontrar las soluciones de $$\alpha x^n = \ln x$$ when $\alpha \in \mathbb{R}$ and $n\in \mathbb{Q}$? Or, if it is not possible to have closed form solutions, how can I prove that there exist one (or there is no solution) and that it is unique? (I'm particularly interested in the cases $n=2$, $n=1$, and $n=1/2$).

Answer 1

No hay ningún punto en la restricción de la $n$ a un ser racional.

Set $x^n=t$, lo $x=t^{1/n}$ y la ecuación se convierte en $$\alpha t=\frac{1}{n}\log t$$ o $n\alpha t=\log t$ y lo podemos estudiar el problema $$kt=\log t$$ Considere la función $$f(t)=kt-\log t$$ definido por $t>0$. Tenemos $$\lim_{t\to0}f(t)=\infty$$ y $$\lim_{t\to\infty}f(t)= \begin{cases} \infty & \text{if %#%#%}\\ -\infty & \text{if %#%#%} \end{casos}$$ (examine).

La derivada es $$f'(t)=k-\frac{1}{t}=\frac{kt-1}{t}$$ que en todas partes es negativo si $k>0$, por lo que en este caso la ecuación tiene una solución.

Para $k\le 0$, el mínimo se alcanza en$k\le0$$k>0$. Así tenemos

• no hay solución si $1/k$,
• una solución si $f(1/k)=1+\log k$,
• dos soluciones si $k>e^{-1}$.

Desde $k=e^{-1}$, es fácil traducir los resultados en términos de $0<k<e^{-1}$ en los casos $k=n\alpha$, $\alpha$ y $n=2$.

Answer 2

En el caso de que el $\alpha n\not =0$, tenemos $$\alpha x^n = \ln x$ $$$ \alpha nx^{n}= n\ln x $$\alpha nx^{n}= \ln x^{n}$ $$$ e^{\alpha nx^{n}} = x^{n} $$1= \frac{x^{n}}{e^{\alpha nx^{n}}}$ $$$ 1= x^{n}e^{-\alpha nx^{n}} $$-\alpha n= -\alpha nx^{n}e^{-\alpha nx^{n}} $ $$$ W(-\alpha n)= -\alpha nx^{n} $$-\frac{W(-\alpha n)}{\alpha n}= x^{n} $ $$$ x=\left(-\frac{W(-\alpha n)}{\alpha n}\right)^{\frac1n} $W$ Dónde está la función W de Lambert.