Si $\sum_{n=1}^\infty{a_n}$ y $\sum_{n=1}^\infty{b_n}$ convergen entonces Si $\sum_{n=1}^\infty{a_n*b_n}$ convergen

Question

Mi intento;

Desde $a_n$ converge entonces su secuencia de sumas parciales $(x_n)$ converge a un límite x. Además, como $b_n$ converge entonces su secuencia de sumas parciales $(y_n)$ converge a un límite y. Obsérvese que utilizando el teorema del límite de la multiplicación: Si $x_n \to x$ y $y_n \to y$ entonces $x_n*y_n \to x*y$ . Sabemos que el producto de sus sumas parciales converge, por lo que el producto de las series converge.$

¿Es esto correcto? Se agradece cualquier orientación.

Answer 1

En general, no es cierto. Por ejemplo, tomemos $a_n=b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ .

Claramente, $\sum_{n=1}^\infty a_n$ y $\sum_{n=1}^\infty b_n$ convergen (Aplicar la prueba de Leibniz para series alternas).

Pero, la serie $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n=\sum_{n=1}^\infty\frac1n$ diverge.

Answer 2

Esto no es cierto en general. Hay un ejemplo fácil de contertulio:

Ver $a_n =b_n= \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ entonces $a_nb_n = \frac{1}{n}$ . puede utilizar Criterio de Leibniz para comprobar la convergencia de $\sum^\infty_{n=1} a_n$ pero $\sum^\infty_{n=1} a_nb_n = \sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n}$ ¡no convergerá!

¡si asumes un poco más puedes arreglar eso!

O bien si uno es $a_n$ o $b_n$ es monótona, entonces puede prueba de dirichlets o si uno converge de forma absoluta entonces se puede utilizar la desigualdad del titular:

$\left|\sum_{n=1}^\infty a_n b_n\right| \leq \sup|a_n|\sum_{n=1}^\infty |b_n|$