Función Zeta de Riemann no decreciente en la recta $\mathrm{Re} \; z = 1$

Question

El resultado citado en el título suele ser un peldaño en la demostración del teorema de los números primos y estoy familiarizado con la argumentación habitual de este resultado. Sin embargo, el otro día mi profesor me decía que, en realidad, el teorema de los números primos también implica este resultado. Me sugirió que mirara el límite:

$$\lim_{\sigma \to 1} (\sigma-1)\int_1^{\infty}\frac{\psi(x)-x}{x^{\sigma+i\tau + 1}} \mathrm{d}x$$

Aparentemente asumiendo el teorema de los números primos se puede demostrar que este límite es cero y de ahí deducir que $\zeta(1+i\tau) \neq 0$ , pero tengo dificultades para mostrar cualquiera de ellos. Alguien puede ayudarme a completar los datos que faltan?

Answer 1

Por un lado, tenemos

$$\begin{align} \int_1^\infty \frac{\psi(x)}{x^{s+1}}\, dx &= \int_1^\infty x^{-s-1} \sum_{p,k} \log p \cdot \chi_{[p^k,\infty)}(x)\,dx\\ &= \sum_{p,k} \log p \int_{p^k}^\infty \frac{dx}{x^{s+1}}\\ &= \sum_{p,k} \frac{\log p}{s\cdot p^{sk}}\\ &= \sum_p \frac{\log p}{s}\sum_{k} p^{-sk}\\ &= \sum_p \frac{\log p}{s(p^s-1)}\\ &= -\frac{1}{s}\cdot \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \end{align}$$

para $\operatorname{Re} s > 1$ y $\int_1^\infty x^{-s}\,dx = \frac{1}{s-1}$ por lo que escribir $\zeta(s) = (s-1)^{-1}\cdot h(s)$ con el polo simple conocido de $\zeta$ en $1$ obtenemos

$$\begin{align} \int_1^\infty \frac{\psi(x)-x}{x^{s+1}}\,dx &= -\left(\frac{1}{s}\cdot \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} + \frac{1}{s-1}\right)\\ &= - \left(\frac{(s-1)^{-1}h'(s) - (s-1)^{-2}h(s)}{s\cdot(s-1)^{-1}h(s)} + \frac{1}{s-1}\right)\\ &= - \left(\frac{1}{s}\frac{h'(s)}{h(s)} - \frac{1}{s(s-1)} + \frac{1}{s-1}\right)\\ &= - \frac{1}{s}\left(\frac{h'(s)}{h(s)} + 1\right).\tag{1} \end{align}$$

Si tuviéramos $\zeta(1+i\tau) = 0$ entonces $\frac{h'}{h}$ tendría un polo simple en $1 + i\tau$ y tendríamos

$$\lim_{\sigma\to 1} (\sigma-1)\int_1^\infty \frac{\psi(x)-x}{x^{\sigma+i\tau+1}}\,dx = -\mu \neq 0,$$

donde $\mu$ es la multiplicidad del cero de $\zeta$ (o equivalentemente $h$ ) en $1+i\tau$ .

Pero el teorema de los números primos implica que

$$\psi(x) - x \in O\left(\frac{x}{\log x}\right),\tag{2}$$

y por lo tanto

$$\begin{align} \left\lvert \int_1^\infty \frac{\psi(x)-x}{x^{s+1}}\,dx\right\rvert &\leqslant \int_1^\infty \frac{\lvert\psi(x)-x\rvert}{x^{\sigma+1}}\,dx\\ &\leqslant K + C\cdot \int_e^\infty \frac{dx}{x^{\sigma}\log x}\,dx\\ &= K + C\cdot \int_1^\infty \frac{e^{-(\sigma-1)t}}{t}\,dt\\ &= K + C\cdot \int_{\sigma-1}^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,dt\\ &\leqslant \tilde{K} + C\cdot \log \frac{1}{\sigma-1}, \end{align}$$

lo que implica

$$\lim_{\sigma\to 1}\quad (\sigma-1)\int_1^\infty \frac{\psi(x)-x}{x^{\sigma+i\tau+1}}\,dx = 0.$$