¿Creo que debe ser un procedimiento estándar para la construcción de este tipo de cosas, puede alguien dar una referencia o dar una sugerencia? ¿Esto es posible en cualquier régimen de base?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sugerencia: use la ecuación cuadrática giros.
Edit: para no retrasar las cosas, espero que bien si me acaba de dar un ejemplo. Vamos
$E_0: y^2 = x^3 + Ax + B$
ser su favorito de curva elíptica sobre $\mathbb{Q}$ (es decir, ninguna va a hacer). Considere la posibilidad de la
curva elíptica
$E: t y^2 = x^3 + Ax + B$
sobre la función racional campo $\mathbb{Q}(t) = \mathbb{Q}(\mathbb{P}^1)$. La difusión de este como un esquema sobre $\mathbb{P}^1_{/\mathbb{Q}}$, podemos ver que hay dos singular fibras, en$t = 0$$t = \infty$. Deshacerse de estos se obtiene una curva elíptica sobre $\mathbb{A}^1 \setminus \{0\}$ que es isotrivial -- el $j$-invariante a través de cada fibra es$j(E_0)$ -, pero no trivial: el isomorfismo de las clases de las fibras son en bijection con $H^1(\mathbb{Q},\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Q}^{\times}/\mathbb{Q}^{\times 2}$.
Es una buena apuesta que usted va a encontrar este ejemplo en algún lugar en el capítulo sobre la elíptica superficies en Silverman los Temas Avanzados en la Aritmética de Curvas Elípticas.
Se puede hacer sobre cualquier base esquema? A menos que se me malinterprete, por supuesto que no, por ejemplo, no sobre el espectro de un campo.
Vaibhav
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(Edit: añadido motivación para mi "respuesta" aunque no es exactamente lo que se le pidió. Se muestra el espacio de moduli de género 1 curvas no puede ser fina - ver último párrafo).
La superficie de Hopf es un (no algebraicas) ejemplo de un no-trivial de la familia de isomorfo curvas elípticas. Aquí yo uso "de curva elíptica" significa "suave curva compleja de género 1", que probablemente no es lo que quieres decir. (En particular, mis curvas no tienen distinguido punto de base.)
La superficie de Hopf $X$ es un cociente de $\mathbb{C}^2\setminus0$ por la acción de la $\mathbb Z$ generado por $z \mapsto 2z$. Desde esta acción desplazamientos con la acción de la $\mathbb{C}^*$ hay un mapa de $X \to \mathbb{CP}^1$. Cada fibra es una copia de $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ dividido por la acción $z\sim 2z$. Así que todas las fibras son isomorfos curvas elípticas. (Si desea que los puntos de base en cada curva, en este ejemplo no funciona porque el fibration $X \to \mathbb{CP}^1$ no tiene una sección.) Por otro lado, es fácil ver que $X$ es diffeomorphic a$S^1\times S^3$, por lo que no se puede trivializar la fibration incluso topológicamente. La sustitución de $z\mapsto 2z$ $z\mapsto \lambda z$ $\lambda\in \mathbb{C}$ cero, supongo que se puede obtener de cualquier género-1 curva que aparece como todas las fibras de un topológicamente no trivial de la familia.
Aunque esto no es eaxctly lo que estás buscando, pensé que vale la pena dar el ejemplo de todos modos, porque es una manera muy simple de ver que el espacio de moduli de género 1 curvas no puede estar bien. (Multa módulos de espacios llevar a una familia universal, y todas las otras familias se tiró hacia atrás de la familia universal a través del mapa de espacio de moduli - en particular, una familia de isomorfo objetos en un espacio de moduli es empujado hacia atrás por la constante mapa y así debe de ser trivial. Uno ve a menudo que los objetos no puede ser parametrizada por un buen espacio de moduli, dando ejemplos de objetos especiales con "extra" de automorfismos. La superficie de Hopf es una alternativa para que se enfoque en esta situación).
