Harris ' AG ex 2.24: variedad proyectiva bajo mapa regular.

Question

Estoy tratando de mostrar que si $X$ es una irreductible variedad proyectiva, su gráfico de un mapa en el espacio proyectivo es una irreductible subvariedad [Harris, Ex 2.24]. Traté de modificar una prueba que me dio antes de la afín caso.

Si $X\subset P^n$ es una variedad proyectiva, es la fuga de algunos polinomios homogéneos $G_j$ $n+1$ variables. El mapa $\phi: X \rightarrow P^m$ es de la forma $[\phi_0([X_0:\ldots:X_n]):\ldots: \phi_m([X_0:\ldots:X_n])]$, donde cada una de las $\phi_i$ es regular en $X$. Llame a la gráfica de regular mapa $\phi$, $\Gamma= \{[x:\phi(x)]:x\in X\} \subset P^n\times P^m$. Para mostrar que esta gráfica es una variedad, que puede exhibir un conjunto de polinomios que cero-locus es $\Gamma$. Considerar el conjunto de los polinomios de $S = \{G_j\} \cup \{ x_{n+i}-\phi_i\}$ donde $i=0,\ldots, m$ y su desaparición set $V(S)$. En primer lugar mostramos $\Gamma \subset V(S)$. Tomar algún elemento $[x:\phi(x)]$$\Gamma$, por definición,$x\in X$, por lo que conocemos de primera $n+1$ coordenadas de $x$ satisfacer todas las $G_j$ y la última $m+1$ coordenadas de les satisface trivialmente, dado que no aparecen. Necesitamos ver que $x$ satisfacer a la otra $m$ polinomio. Los polinomios $x_{n+i}-\phi_i$ son trivialmente satisfecho por la definición de la gráfica lo $\Gamma \subset V(S)$. Por lo que debemos comprobar $\Gamma \supset V(S)$. La satisfacción de las $x_{n+i}-\phi_i$ polinomios garantías que son más grande en el gráfico de $\Gamma' = \{(x,f(x)):x\in P^n\}$, y la de otros polinomios $G_i$ intersectan la primera $n$ coordina con $X$ como un subespacio, dando así a $\Gamma$. A ver que $\Gamma$ es irreducible si $X$ es, podemos mirar a los ideales de los polinomios. Sabemos que el ideal generado por a $\{G_j\}$ es primo, y el ideal generado por a $\{-\phi_i+x_{n+i}\}$ son todos prime porque de la $x_{n+i}$ término siendo irreductible y grado 1. Desde el ideal de los generadores no se cruzan, el ideal generado por su unión es todavía el primer y, por tanto, la gráfica es irreductible.

Dos problemas que tengo: el conjunto de $S$ tiene que ser de todos los polinomios homogéneos, y el $-\phi_i+x_{n+i}$ no son claramente desde $x_{n+i}$ grado 1 y $\phi_i$ puede ser de cualquier grado. Yo estaba pensando en elevar $x_{n+1}$ para el grado de $\phi_i$ pero no estoy seguro de que iba a arreglar nada. También, entonces mi argumento acerca de la irreductibilidad no iba a funcionar. Para ser sincero, no estoy plenamente convencidos de que funciona, pero he intentado varios ejemplos, y parece ser el caso de que si usted tiene genera $S_i$ para un primer ideal y generadores $T_i$ para un primer ideal y si $\{S_i\}\cap \{T_i\}=\emptyset$ $\{S_i\}\cup \{T_i\}$ genera un alojamiento ideal.

Answer 1

1) La clave de tu problema es recordar que un subconjunto $T\subset \mathbb P^n\times \mathbb P^m$ es cerrado (=es una subvariedad) si es el cero locus $F_i(z,w)=0 \; (i\in I)$ de una familia $F_i(Z,W)$ de bihomogeneous polinomios en las variables $Z=(Z_0,\ldots,Z_n), W=(W_0,\ldots,W_m)$ donde $Z$ $W$ son las coordenadas homogéneas de $\mathbb P^n$$\mathbb P^m$.

2) Supongamos ahora que el $X\subset \mathbb P^n$ está dado por la desaparición de los polinomios $G_j(Z)$.
Hay una cubierta de $\mathbb P^n$ por la apertura de los subconjuntos $U\subset \mathbb P^n$ que $U\cap X$ los morfismos $\phi$ está dado por $\phi(x)=[\phi_0(x):\ldots:\phi_m(x))]$ cuando la $\phi_k(Z)$ son homogéneos polinomios del mismo grado $r$. A continuación, el gráfico $\Gamma$ se da en $U\times \mathbb P^m$ por la fuga de la familia de la $G_j(Z)$ e de la $W_i\phi_k(Z)-W_k\phi_i(Z)$, estos últimos polinomios de bidegree $(r,1)$ en las variables de$(Z,W)$.

3) Lo $\Gamma\cap (U \times \mathbb P^m)\subset U \times \mathbb P^m$ es cerrado y puesto que estos $U \times \mathbb P^m$ forma abierta cubriendo de $\mathbb P^n\times \mathbb P^m,$ a la conclusión de que $\Gamma$ es cerrado en $\mathbb P^n\times \mathbb P^m$.

4) Como es habitual en Harris el libro el ejercicio es reversible por un novato en la geometría algebraica, debido a la rareza o la ausencia de los cálculos explícitos .
Los principiantes pueden por todos los medios consulte Harris, un tesoro de la clásica geometría algebraica, sino que debe utilizar en conjunción con otro libro para aprender los conceptos básicos y encontrar razonable, animando a los ejercicios.