Imán de Mandelbrot

Question

Sabemos que el conjunto de Mandelbrot se deriva de las iteraciones de z^2 + c.

¿Alguien sabe algo acerca de imán de Mandelbrot? La encontré en el software UltraFractal, y que es mucho más bonito que el original Mandelbrot, en mi opinión.

¿Sabes algo sobre eso? ¿Qué es la iteración?

EDIT: Aquí está una foto de un imán Julia

Answer 1

He buscado en Google "magnético fractal", y encontró la respuesta en el primer golpe. Cita el Fractint documentación (me puedo resistir la tentación de mencionar que Fractint es el gran padre de freeware fractal de generación de software para computadoras personales ... tuvo su primera versión en el año 1988, y aún se mantiene!):

Estos fractales uso de las fórmulas derivadas del estudio de jerárquica celosías, en el contexto de un campo magnético renormalisation transformaciones. Esta clase de cosas es útil en un área de la física teórica que se ocupa de la fase magnética-transiciones (la predicción en la que las temperaturas de una determinada sustancia va a ser magnético o no magnético). En un intento de clarificar los resultados obtenidos para temperaturas Reales (el tipo que usted y yo podemos sentir), el estudio se trasladó al ámbito de los Números Complejos, con el objetivo de spot Real de la fase de transiciones por encontrar las intersecciones de las líneas que representan la Compleja fase de las transiciones con el Eje Real. Las primeras personas en probar este fueron dos de los físicos llaman Yang y Lee, quien encontró a la situación un poco más compleja que la primera se esperaba, así como los límites de la fase de Complejo de temperaturas (¡sorpresa!) los fractales.

Las fórmulas para los dos fractales también son de allí. Son $$z \mapsto \left(\frac{z^2 + (c-1)}{2z + (c-2)}\right)^2$$ para el imán 1, y $$z \mapsto \left(\frac{z^3 + 3(c-1)z + (c-1)(c-2)}{3z^2 + 3(c-2)z + (c-1)(c-2) + 1}\right)^2$$ para el imán 2.

Estoy de ninguna manera bien informado sobre este tema, pero he estado mirando algunos de Robert Devaney los papeles, que me llegó a través de a través de tetration.org. Mirando Devaney imágenes, me imagino que la razón por la que estos fractales tienen la hermosa Sierpinski-junta-como las estructuras, mientras que la norma cuadrática de Julia y Mandelbrot conjuntos no, es que cada una de las fórmulas de la definición de estos fractales es una función racional, es decir, un cociente de dos polinomios, en lugar de un único polinomio. Creo que el campo que estudia estas cosas se llama dinámica compleja. Mi conocimiento no llega a cómo las funciones racionales con polos dar lugar a conjuntos de Julia con juntas, pero se puede intentar buscar la respuesta a que en algunos de Devaney los papeles, o en el libro de la Iteración de Funciones Racionales por Alan F. Beardon que se cita en el artículo de la Wikipedia sobre los conjuntos de Julia.

Answer 2

Al parecer, la idea es aproximadamente esto:

• A bajas temperaturas, el cristal metálico de celosía es totalmente ordenado, y el metal es magnético.

• A altas temperaturas, el cristal metálico de celosía es completamente desordenados, y el metal no magnético.

• Como calentar a una temperatura baja de celosía, pequeño, aislado de los bolsillos de la enfermedad en la que sea ordenado entramado.

• Como enfriar una bañera de celosía, con pequeñas bolsas de fin de aparecer en el de otra manera caótica disposición.

• Usted puede escribir una "fase magnética renormalisation transformar" que representa el "zoom" de la red.

• En lowish temperaturas, al alejar, no se puede "ver" los pequeños bolsillos de trastorno, y la celosía se ve totalmente ordenado. Esto nos dice que en lowish temperaturas, el metal es todavía magnético.

• En resumen, para averiguar si el metal es magnético o no magnético a temperatura $x$, que solo alimentan $x$ a través de este renormalisation transformar, una y otra vez, hasta que $x$ se asienta en un muy alto o muy bajo valor.

• El real renormalisation transformar varía dependiendo de las propiedades de la red. FractInt (Dios tenga su alma) implementa dos celosías, como por Rahul la respuesta. Observe que cada una de celosía tiene un parámetro, $c$, que representa el número de posibles "quantum tiradas" los iones metálicos pueden tener.

• Los chicos estaban luchando para averiguar cómo las propiedades de la red como una función de la $c$. Por lo que trató de sustituir la temperatura de $x$ con un complejo número de $z$. Ahora, obviamente, el mundo real no tiene complejos-número de temperaturas. Pero ellos pensaron que podría ser esclarecedor para ver lo que las matemáticas no...

• ...Se fue iluminando. No podía entenderlo porque es un maldito fractal!

• Si usted mira un magnéticos Julia, la región a través de la línea de $\Re(z)=0$ corresponde al mundo real de las temperaturas. (Yo creo que hay algunos transformación lineal entre las temperaturas actuales y la función de las coordenadas; no recuerdo lo que es de mano.)

P. S. al Parecer, en el mundo real, $c=2$ ("Ising spin modelo"), pero se trató de dejar que ser un número complejo. Los resultados son la hermosa magnético fractales de Mandelbrot, para ir con la magnética Julias.