Si $BA = I$, demostrar que $AB = I$ (usando determinantes)

Question

He visto este problema por aquí, pero quería comprobar si esta solución es la correcta.

Así que, si $BA = I$, entonces el $det(B)det(A) = 1$, lo que significa ni $det(B)$ o $det(A)$ equivalen a $0$. Porque $det(B) \neq 0$, $B$ debe ser invertible, que significa $CB = I$ % matriz $C$.

A continuación, considere $CBA$.

$BA = I$, que $CBA = C(I) = C$.

$CB = I$, que $CBA = (I)A = A$

$CBA = C = A$. Ahora saber que $C = A$, yo puedo sustituir $A$ $C$ a $CB = AB = I$, que es lo que quería demostrar.

Answer 1

Aquí es un argumento más rápido. Sabes $A$ y $B$ son inversible, que $$ABA = A$$ implies $ AB = I $ by multiplying $A ^ {-1} $ a la derecha. Sin embargo, su argumento es correcto.

Edit: Después de pensar este más, creo que el punto del ejercicio original es demostrar que cada matriz cuadrada con una inversa izquierda también tiene una inversa derecha y viceversa. Supongo que esto se puede hacer desde propiedades del determinante. En ese marco, todos los argumentos presentados hasta ahora son circulares.

Answer 2

No determinantes requeridas realmente (supongo que $A,B$ son matrices cuadradas): Si $BA=I$, $A$ es la matriz de un inyectivo endomorfismos y $B$ la matriz de un endomorphisme sobreyectiva . Sin embargo, en dimensión finita, inyectiva $\iff$ sobreyectiva $\iff$ biyectiva. Por lo tanto, $A$ $B$ son inversible e inversa entre sí. Así $AB=I\implies BA=I$.