¿La ecuación no tiene, en qué campos p-adic, ninguna solución?

Question

Tengo que comprobar si la ecuación de $3x^2+5y^2-7z^2=0$ no trivial de la solución en $\mathbb{Q}$. Si es así, tengo que encontrar al menos uno. Si no tiene, tengo que encontrar a la que p-ádico campos no tiene solución racional.

Teorema:

Suponemos que a $a,b,c \in \mathbb{Z}, (a,b)=(b,c)=(a,c)=1$.

$abc$ es la plaza libre. Entonces, la ecuación de $ax^2+by^2+cz^2=0$ no trivial de la solución en $\mathbb{Q} \Leftrightarrow$

1. $a,b,c$ no tienen el mismo signo.
   2. $\forall p \in \mathbb{P} \setminus \{ 2 \}, p \mid a$, $\exists r \in \mathbb{Z}$ tal que $b+r^2c \equiv 0 \pmod p$ y similares de la congruencia de los números primos $p \in \mathbb{P} \setminus \{ 2 \}$, por lo que $p \mid b$ o $p \mid c$.
   3. Si $a,b,c$ son de todos los impares, entonces hay dos de $a,b,c$, de modo que su suma es dividida por $4$.
   4. Si $a$, incluso, a continuación, $b+c$ o $a+b+c$ es divisible por $8$. Similar, si $b$ o $c$ incluso.

La primera frase está satisfecho.

Para el segundo:

$$p=3:$$

$$5+x^2(-7) \equiv 0 \pmod 3 \Rightarrow x^2 \equiv 2 \mod 3$$ $$\left ( \frac{2}{3} \right)=-1$$

Así, vemos que la ecuación no soluciones no triviales en $\mathbb{Q}$.

EDITAR:

Para comprobar si hay una solución en $\mathbb{Q}_2$, podemos utilizar el siguiente lema:

Si $2 \nmid abc$$a+b \equiv 0 \pmod 4$, entonces la ecuación de $ax^2+by^2+cz^2=0$ tiene al menos un no-trivial de la solución en $\mathbb{Q}_2$.

En nuestro caso, $a+b=8 \equiv 0 \pmod 4$, por lo que no hay solución en $\mathbb{Q}_2$, ¿verdad?

Para $p=3,5,7$, podemos utilizar el siguiente lema:

Deje $p \neq 2$ ser un primo, $a,b$ $c$ ser pares coprime enteros con $abc$ plaza libre y $p \mid a$, e $Q: ax^2+by^2+cz^2=0$ una forma cuadrática. Entonces no es una solución a $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}_p$ fib $-\frac{b}{c}$ es un cuadrado de $\mod p$.

$$\left( -\frac{5}{-7}\right)=\left( \frac{5}{7} \right)=-1$$

Así, no es no trivial de la solución en $\mathbb{Q}_3$.

$$\left( \frac{-3}{-7} \right)=\left( \frac{3}{7} \right)=-1$$

Así, no es no trivial de la solución en $\mathbb{Q}_5$.

$$\left( -\frac{3}{5}\right)=-1$$

Así, no es no trivial de la solución en $\mathbb{Q}_7$.

Queda por comprobar si la ecuación tiene soluciones no triviales en $\mathbb{Q}_p, p \neq 2,3,5,7$.

Podemos hacer esto, solamente usando el principio del palomar?

O tenemos que aplicar Hensel del Lema? Si es así, ¿cómo podemos hacer esto? No he entendido..

Answer 1

Su teorema dice directamente que la ecuación no tiene soluciones en $\mathbb{Q}$ (es decir, no hay solución racional). Como también se señaló en los comentarios anteriores, una solución en $\mathbb{Q}_p$ NO es una "solución racional', como los valores de $x, y$ $z$ no necesita ser racionales! Sin ver la demostración de su teorema, que realmente no se debe invocar ciertas partes de ella como lo hemos hecho después; por ejemplo, se ha adoptado una condición local a los 3, se muestra que no es satisfecho, y concluyó que no hay ninguna solución en $\mathbb{Q}_3$. Es cierto que tal solución no existe, pero a medida que el teorema de stands, no has dado una prueba. El teorema se demuestra el uso de la Hasse-Minkowski teorema (que dice que estas ecuaciones tienen una raíz racional si y sólo si tienen uno en todas partes a nivel local), y durante la prueba se le terminan mostrando la siguiente, que es lo que necesitas:

Lema: Vamos a $p \neq 2$ ser un primo, $a,b$ $c$ ser pares coprime enteros con $abc$ plaza libre y $p|a$, e $Q: ax^2 + by^2 + cz^2 = 0$ una forma cuadrática. Entonces no es una solución a $Q$ $\mathbb{Q}_p$ si y sólo si $-b/c$ es un cuadrado mod $p$.

Prueba: Supongamos que existe una solución. A continuación, por la escala, podemos suponer que la $y$ $z$ mentira en $\mathbb{Z}_p$, y, de hecho, que se encuentran en $\mathbb{Z}_p^\times$. (Supongamos, sin pérdida de generalidad que $y \in p\mathbb{Z}_p;$, entonces como $p|a$, $p|y$ y $p\nmid c$, debemos tener $p|z,$ y, por tanto, $p|x$ teniendo en cuenta la paridad de que el exponente de a $p$ en la suma. Así que podemos dividir nuestro trío $(x,y,z)$$p$.)

Consideremos ahora la ecuación de mod $p$. Esto se convierte en equivalente a $(y/z)^2 \equiv -b/c$ mod $p,$ donde podemos dividir por $c$ $z^2$ como han invertible imagen en $\mathbb{F}_p$. Por lo $y/z$ da el elemento correspondiente de $\mathbb{F}_p$ que las plazas a $-b/c$.

Por el contrario, supongamos que tenemos $Y^2 \equiv -b/c$ mod $p$. A continuación, en particular, $p\nmid Y$ y el trío ($x,y,z) = (0,Y,1)$ da una solución mod $p$. El uso de Hensel del lema (y el uso de ese $p\neq 2$) vemos que esto lleva a una solución en $\mathbb{Q}_p$, según se requiera.

Este Lema se aplica directamente a su caso, con el evidente simetría para $p|b$ o $p|c$. En particular, se ha demostrado que la $5/7 \equiv 2$ no es un cuadrado mod 3, por lo tanto no hay ninguna solución en $\mathbb{Q}_3$, $3/7 \equiv 4$ es un cuadrado mod 5, así que no hay una solución en $\mathbb{Q}_5$, e $-5/3\equiv 3$ no es un cuadrado mod 7, por lo que no hay una solución en $\mathbb{Q}_7$.

Para los números primos no dividiendo $abc$ y no es igual a 2, como ya se ha señalado, puede utilizar Hensel fácilmente para demostrar que existen soluciones a través de un recuento de argumento en residuos cuadráticos mod $p$.

El caso de $\mathbb{Q}_2$ es más complicado, ya que no se puede utilizar Hensel o el Lema directamente. Se puede demostrar una similar Lema a la anterior para mostrar que las condiciones locales en la 2, en su teorema son precisamente los que determinan cuando hay una solución en $\mathbb{Q}_2$? Una vez que hayas hecho esto, su trabajo anterior muestra que existe una solución en $\mathbb{Q}_2$, y además has hecho todo el trabajo en la demostración de su teorema (una vez que la invocación de Hasse-Minkowski, por supuesto!).