Una pregunta comparando $\pi^e$ $e^\pi$

Question

Yo estaba haciendo un problema de álgebra establece después un capítulo sobre logaritmos y exponenciación, y presentó esta "pregunta de bonus":

Sin utilizar la calculadora, determinar cuál es mayor: $e^\pi$ o $\pi^e$.

No pude llegar a nada, y yo soy sólo por curiosidad cómo se podría abordar esta, teniendo en cuenta que salió de un libro de álgebra college, menos de la mitad de, por lo que no imagina que el autor tenía cualquier súper avanzada táctica en mente.

Answer 1

Considere la función $x^{\frac{1}{x}}$. Diferenciar da $x^{\frac{1}{x}}(\frac{1}{x^2})(1-\ln x)$, por lo que la función alcanza el máximo global en $x=e$.

Así $e^{\frac{1}{e}} \geq \pi^{\frac{1}{\pi}}$ y es claro que la desigualdad es estricta, así $e^{\pi}>\pi^{e}$.

Answer 2

Si usted conoce la expansión de Taylor: $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...$ $ podemos conseguir (o usted puede tomar derivado para probarlo) $$e^{x}>1+x, \forall x>0$ $ %#% $ de #% obtenemos $$x=\frac{\pi}{e}-1>0$ $ establezca

Answer 3

Así que, queremos probar $e^\pi>\pi^e$. Tomando el $\log$ (donde $\log$ significa $\ln$) de ambos lados nos dice que esto es equivalente a demostrar

$$\pi\log(e)>e\log(\pi)$$

o

$$\frac{\log(e)}{e}-\frac{\log(\pi)}{\pi}>0$$

Pero,

$$\frac{\log(e)}{e}-\frac{\log(\pi)}{\pi}=-\int_{e}^{\pi}\frac{d}{dx}\left(\frac{\log(x)}{x}\right)$$

pero,

$$-\frac{d}{dx}\left(\frac{\log(x)}{x}\right)=\frac{\log(x)-1}{x^2}$$

Así, vemos que

$$\frac{\log(e)}{e}-\frac{\log(\pi)}{\pi}=\int_e^\pi \frac{\log(x)-1}{x^2}\, dx$$

Desde entonces, $x\in(e,\pi)$ tenemos

$$\frac{\log(x)-1}{x^2}>0$$

se sigue que

$$0<\int_e^\pi \frac{\log(x)-1}{x^2}=\frac{\log(e)}{e}-\frac{\log(\pi)}{\pi}$$

Answer 4

Esto no puede ayudar mucho, pero si se sabe sus # de $\ln$-valores bien, o han encontrado $\ln(\pi)$:

Tenga en cuenta que $\ln(e^\pi) = \pi$ y $\ln(\pi^e) = e\ln(\pi)$ y tenemos que $\pi > e\ln(\pi)$.

Por lo tanto, $\;e^\pi > \pi^e$.

Pero es cierto que la desigualdad no es inmediatamente obvia! (que se puede ver si hacer aproximado con una calculadora!)