En submódulos máximos de módulos proyectivos

Question

Sé que cualquier módulo proyectivo distinto de cero tiene un submódulo máxima. ¿Pero es cierto que cualquier submódulo adecuada está contenido en un submódulo máxima!?

Answer 1

No. Deje $R=\mathbb{Z}$ y considerar la posibilidad de $M=\mathbb{Q}$. Hay un módulo proyectivo $F$ y surjective homomorphism $f:F\to M$ (por ejemplo, tome $F=R^{(M)}$$f(e_m) = m$). El submódulo $\ker(f) \leq F$ no figura en ningún máxima submódulo, ya que el entramado de submódulos que contengan $\ker(f)$ es isomorfo al submódulo de celosía de $M$, y el submódulo de celosía de $M$ no contiene (correcto) máxima elementos.

Gracias por la buena pregunta. Yo estaba sorprendido por la respuesta.

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Una pregunta relacionada: Así que los anillos de trabajo?

Proposición: Las siguientes son equivalentes:

• Cada apropiado submódulo de un proyectiva módulo está contenido en un máximo submódulo
• Cada apropiado submódulo de un módulo está contenido en un máximo submódulo
• Cada módulo tiene un máximo submódulo

Prueba: La segunda implica claramente tanto de los demás. Deje $K < M$. A continuación, hay un módulo $F$ y surjective homomorphism $f:F \to M$. Deje $L=f^{-1}(K)$. En el primer caso, podemos encontrar algunos máxima submódulo $X$$L \leq X \lessdot F$. A continuación,$K \leq f(X) \lessdot M$, y para el primer caso implica la segunda. En el tercer caso, el módulo de $M/K$ contiene un máximo submódulo $L/K \lessdot M/K$. A continuación,$K \leq L \lessdot M$, para el tercer caso implica la segunda. $\square$

En la conmutativa caso, Hamsher estudiado estos anillos, el primero (1966) en el noetherian caso, y, a continuación, (1967), en el caso general. Estoy leyendo a través de estas ahora, y puede leer a la noncomm resultados. Déjeme saber si usted está interesado.

• Hamsher, Ross M. "Conmutativa, noetherian anillos sobre el que cada módulo tiene un máximo submódulo." Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 17 (1966) 1471-1472. MR200303 DOI:10.2307/2035767
• Hamsher, Ross M. "Conmutativa anillos sobre el que cada módulo tiene un máximo submódulo." Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 18 (1967) 1133-1137. MR217059 DOI:10.2307/2035815