¿Cómo probar $\sum \frac {n}{2^n} = 2$?

Question

Cómo usted probar %#% $ #%

Mi intento: He estado tratando de encontrar la serie geométrica que convergen al 2, que puede enlazar la serie dada a ambos lados. Pero soy incapaz de encontrarlas. ¿Existe una técnica general para encontrar la suma? Esto es una pregunta de entrevista de la high School secundaria y deberá ser fácil de resolver en pocos minutos.

Por favor dar alguna sugerencias para el primer paso hacia una solución.

Answer 1

Un enfoque encuentro intuitivo y evita los derivados:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac {n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{2^n} + \sum_{n=2}^{\infty} \frac {1}{2^n} + \sum_{n=3}^{\infty} \frac {1}{2^n} + \cdots $$

Ahora analizar esto.

Answer 2

Aquí está una manera simple de ver esto. Ignora los aspectos técnicos de la reordenación de las series infinitas.

Escribir la serie de la siguiente manera: $$ \quad \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \frac{4}{2^4} + \puntos \\ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + \puntos \\ \qquad + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + \puntos \\ \qquad \qquad \quad + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + \puntos \\ \qquad \qquad + \frac{1}{2^4} + \puntos \\ \vdots $$ Cada fila es una serie geométrica. Los valores de las filas se $1, \frac{1}{2}, \, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^3}$, en tanto que es una serie geométrica. Agregar esta serie y obtendrá la respuesta $\boxed{2}$.

Answer 3

Consejo: Denotan su suma $S$, reescribir $S=2S-S$ y tratar de escribir las cantidades.

Answer 4

Manera general para manejar problemas similares es tener en cuenta que

$$\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=x\frac{d}{dx}\sum_{n=1}^{\infty}x^n \tag1$$

La suma en el lado derecho del $(1)$ es la serie de

$$\sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}\tag 2$$

Tomar un derivado de la derecha del $(2)$ revela

$$\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}$$

con lo cual la evaluación en $x=1/2$ proporcionar el resultado esperado

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}=2$$

Answer 5

Observe que $\dfrac{1}{1-x} = \sum_{i=0}^\infty x^i$.

Ahora distinguir: $\dfrac{1}{(1-x)^2} = \sum_{i=1}^\infty ix^{i-1}$.

Pidió una pista, pero allí no es mucho a la izquierda a hacer.