Prob. 3, Cap. 3 en Rudin de bebé: si $s_1 = \sqrt{2}$ y $s_{n+1} = \sqrt{2 + \sqrt{s_n}}$, ¿cuál es el límite de esta secuencia?

Question

Aquí Prob. 3, Cap. 3 en el libro de los Principios de Análisis Matemático por Walter Rudin, 3ª edición:

Si $s_1 = \sqrt{2}$, y $$s_{n+1} = \sqrt{2 + \sqrt{s_n}} \ \ (n = 1, 2, 3, \ldots),$$ prove that $\a la izquierda\{ s_n \right\}$ converges, and that $s_n < 2$ for $n = 1, 2, 3, \ldots$.

Mi esfuerzo:

Podemos mostrar que $\sqrt{2} \leq s_n \leq 2$ todos los $n = 1, 2, 3, \ldots$. [Estoy en lo cierto?]

A continuación, también se puede mostrar que el $s_n < s_{n+1}$ todos los $n = 1, 2, 3, \ldots$. [Estoy en lo cierto?]

Pero, ¿cómo calcular el valor exacto del límite? ¿De dónde viene esta secuencia se producen en las aplicaciones?

Answer 1

Pero, ¿cómo calcular el valor exacto del límite?

Sugerencia. Ustedes han demostrado que el límite existe, entonces tiene que satisfacer $$ l= \sqrt{2 + \sqrt{l}}, \qquad \sqrt{2}<l\le2, $$ elevando al cuadrado dos veces uno se $$ l^4-4l^2-l+4=0 $$ a continuación, mediante la resolución de la ecuación de cuarto grado con Ferrari método, se obtiene

$$ l=\frac{1}{3\sqrt[3]{2}} \left(79+3 \sqrt{249}\right)^{1/3}+\frac{1}{3\sqrt[3]{2}} \left(79-3 \sqrt{249}\right)^{1/3}-\frac13 $$

la observación de que $$ l= 1.83117720\cdots. $$

Answer 2

Para la primera parte de su pregunta, no fueron respondidas:

Si $s_1=\sqrt{2}$ y $$ s_{n+1}=\sqrt{2+\sqrt{s_n}} $$ demostrar 1) que $\{ s_n \}$ converge y 2) que $s_n<2$ cualquier $n\in \mathbb{N}$.. En primer lugar mostramos $\{ s_n\}$ está aumentando por inducción.

Caso Base: $$ 2>0\Rightarrow 2+\sqrt{2}>\sqrt{2}\Rightarrow \sqrt{2+\sqrt{2}}>\sqrt{2} \Rightarrow s_2>s_1 $$ Inductivo hipótesis: Supongamos $s_n>s_{n-1}$, luego $$ \sqrt{s_n}>\sqrt{s_{n-1}}\Rightarrow 2+\sqrt{s_{n}}>2+\sqrt{s_{n-1}}\Rightarrow \sqrt{2+\sqrt{s_{n}}}>\sqrt{2+\sqrt{s_{n-1}}} \Rightarrow s_{n+1}>s_{n} $$ Ahora, mostrando la parte 2 para ser verdad, nos va a permitir a la conclusión de la parte 1, como el aumento de secuencias delimitadas por encima de converger. Caso Base: $\sqrt{2}<2$. Inductivo hipótesis: Supongamos $s_n<2$. Entonces $$ \sqrt{2+\sqrt{s_{n-1}}}<2\Rightarrow 2+\sqrt{2+\sqrt{s_{n-1}}}<4\Rightarrow \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{s_{n-1}}}}<2\Rightarrow \sqrt{2+s_n}<2\\ \stackrel{\text{desde $s_n>1\Rightarrow s_n>\sqrt{s_{n}}>0$}}{\Rightarrow}\sqrt{2+ \sqrt{s_n}}<\sqrt{2+s_n}<2\Rightarrow s_{n+1}<2 $$ y podemos concluir.

Answer 3

Si el límite de $s$ $s_n$ existe, entonces $$ s=\lim s_n=\lim s_{n+1}=\lim \sqrt{2+\sqrt{s_n}}=\lim \sqrt{2+\sqrt{s}}. $$ Por lo tanto, el límite satisface la ecuación $$ s=\sqrt{2+\sqrt{s}}. $$ Por lo tanto, $$ s^2=2+\sqrt{s}\qquad\text{o, equivalentemente,}\qquad (s^2-2)^2=s. $$ Por lo tanto el límite es la única solución de $s^4-4s^2-s+4=0$ que se encuentra en el intervalo de $[\sqrt{2},2]$.

Para resolver esta ecuación, primero observar que $s=1$ es una solución, y por lo tanto $$ s^4-4s^2-s+4=(s-1)(s^3+s^2-3-4). $$ Podemos usar este método para solucionar $\,s^3+s^2-3s-4=0,\,$ y obtener que $$ s=-\frac13+\frac{1}{\sqrt[3]{54}} \Big(\left(79+3 \sqrt{249}\right)^{1/3}+ \left(79-3 \sqrt{249}\right)^{1/3}\Big). $$