¿Probar una pregunta de geometría ángulos y radios en cinco círculos colineales?

Question

Nuestro maestro nos dan esta pregunta y he trabajado en ella pero no pude encontrar una manera de demostrar que. ¿Es posible que me ayude a demostrar que?

Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Considerar el uniforme de escala (es decir, la similitud de transformación) de todo el plano sobre el punto de $A$ que se lleva a $K$$H$. Argumentan que esta transformación se $H$ a $B$, $J$ a $E$, e $E$$C$. Una vez que vea esto, es claro que $$ \frac{R_5}{R_3} = \frac{R_3}{R_1} $$

Si el lenguaje de transformaciones que no es familiar para usted, trate de lugar señalar que los segmentos etiquetados $R_1, R_3, R_5$ son todos paralelos (de ser ortogonal a la parte superior del tórax), y que, por ende, $AKJ$ es similar a $AHE$, y trabajar desde allí.

Answer 2

Es una consecuencia inmediata del teorema de Thales.

$$\frac{BG}{GH}=\frac{CD}{DE} \Rightarrow \frac{R_1+R_2}{R_2+R_3}=\frac{\sqrt{4R_1R_2}}{\sqrt{4R_2R_3}} \Rightarrow R_1R_3=(R_2)^2 (*)$$

Conseguimos $CD=\sqrt{4R_1R_2}$ por un teorema de Pitágoras en $BCDG$. El % de relación $(*)$significa que ésos radio en una secuencia geométrica y así

$$R_1R_5=(R_3)^2$$

Answer 3

Sugerencia. Empezar por demostrar que $R_{i-1} R_{i+1}=R_{i}^2$ señalando $$\frac{x}{R_i}=\frac{x-R_{i}-R_{i-1}}{R_{i-1}}=\frac{x+R_{i}+R_{i+1}}{R_{i+1}}.$ $ $x$ Dónde está la distancia del centro del círculo $i$-th de $A$.

Answer 4

Deje $c_n$ el valor de la distancia de $A$ hasta el centro del círculo con un radio de $R_n$.

Dado que los triángulos formados por la radio y $A$ contienen los mismos ángulos, tiene

$R_n = k \cdot c_n$ para algunas constantes $k$.

Ahora bien, desde la vecina círculos se intersectan en exactamente un punto en la línea que conecta a los centros y a $A$, podemos llegar a la siguiente fórmula recursiva para $c_n$:

$c_{n+1} = c_n + R_n + R_{n+1} = c_n + k \cdot c_n + k \cdot c_{n+1}$

Resolver para $c_{n+1}$ para obtener

$c_{n+1} = c_n \cdot \frac{k+1}{1-k}$ que es la forma recursiva de una progresión geométrica y, por tanto,

$c_{n} = c_1 \cdot \left(\frac{k+1}{1-k}\right)^{n-1}$

Demostrando la demanda ahora es trivial. (el uso de $R_n = k \cdot c_n$)

Answer 5

Por el % de semejanza $R_{i+1}/R_i = \mathrm{const.}$, por lo tanto, $R_5/R_3 = R_3/R_1$.