¿Los números racionales pueden tener decimales?

Question

Tenía una pregunta en mi examen: ¿Cuál de los siguientes no es un número racional?

a) $\sqrt{25}$

b) $\sqrt{45}$

c) $\sqrt\frac{256}{225}$

d) $\frac{3}{4}$

La respuesta a esto es b. Ahora, $\sqrt{45} \approx 6.708$ . ¿Puede alguien explicar por qué esto no es racional? ¿Se trata de los puntos decimales?

Un número racional es cualquier número que puede expresarse en forma de $\frac{p}{q}$ , donde $p,q$ son números enteros y $q\neq 0$ .

Así que $\frac{3}{2}$ califica como un número racional, ¿verdad? Pero, en forma decimal, $\frac{3}{2}$ es $1.5$ que tiene decimales. Pensaba que los enteros no tienen decimales, así que 1,5 no debería ser un número racional.

¿Puede alguien aclararme la mente? Términos sencillos, por favor :)

Saludos.

Answer 1

En primer lugar, tu definición de números racionales es correcta. Así que $3/2$ es un número racional, pero en la definición no dice que $p/q$ debe ser un número entero, sólo que ambos $p$ y $q$ debe. Los números racionales pueden tener decimales e incluso un infinito de decimales, PERO los decimales de cualquier número racional tendrán un patrón de repetición en algún momento ya sea como $$ \frac23 = 0.666... $$ o $$\frac{92}{111000} = 0.000\hspace{2px}828\hspace{2px}828\hspace{2px}828... $$ o $$\frac32 = 1.500 \hspace{2px} 000 \hspace{2px} 000...$$ La razón por la que $\sqrt{45}$ no es racional no es porque tiene decimales. Tenemos que $$\sqrt{45} = \sqrt{5\cdot 9} = \sqrt{5}\sqrt{9} = 3\sqrt{5},$$ así que $\sqrt{45}$ debe ser irracional si $\sqrt{5}$ es irracional. De hecho, se sabe que $\sqrt{p}$ para todos los primos $p$ es irracional como $p=5$ Ver por ejemplo este .

Por lo tanto, podemos decir que $\sqrt{45}$ es irracional.

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Para ver por qué el producto de un número racional (distinto de cero) por un número irracional es irracional, véase este .

Answer 2

3 de las 4 opciones de ese examen se pueden escribir en $\frac{p}{q}$ donde p y q son números enteros. Nótese que los enteros pueden no tienen decimales. Por ejemplo:

a) $\sqrt{25} = 5 = \frac{5}{1}$

b) $\sqrt{45} = \frac{?}{?}$

c) $\sqrt{\frac{256}{225}} = \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{225}} = \frac{16}{15}$

d) $\frac{3}{4}$

Así, a, c y d pueden escribirse en $\frac{p}{q}$ (5,1,16,15,3,4 son todos enteros) pero b no. Si crees que b es racional, rellena los dos signos de interrogación con enteros y verás que no puedes.

Answer 3

Como se muestra en esta respuesta si la solución de $$ x^2-45=0\tag{1} $$ es racional, entonces es un número entero. $x=6$ es demasiado pequeño y $x=7$ es demasiado grande, por lo que no hay ningún número entero que satisfaga $(1)$ . Por lo tanto, no hay ningún número racional que satisfaga $(1)$ .

Eso es, $\sqrt{45}$ es irracional.

Answer 4

Que un número sea un número racional no depende de cómo se exprese, sino de si es posible escribirlo como $\frac pq$ donde $p,q$ son números enteros y $q\neq 0$ .

Así que cualquier decimal de terminación, por ejemplo $r=abc.defg$ es un número racional, porque $10000r=abcdefg$ y $r=\frac {abcdefg}{10000}$

También cualquier decimal que eventualmente se repita representa un número racional, digamos $r=abc.defgefgefgefg \dots$ .

Aquí podemos ver $$10000r-10r=abcdefg.efgefgefg \dots -abcd.efgefgefg \dots=abcdefg-abcd$$

para que $9990r=abcdefg-abcd$

y $r=\frac {abcdefg-abcd}{9990}$

De hecho, cualquier número racional terminará o se repetirá - piensa en hacer una división larga para encontrar la expansión decimal. Al final llegarás al resto $0$ , en cuyo caso la división termina, o llegará a un resto que ya ha encontrado antes, en cuyo caso el patrón se repetirá.

Lo he esbozado porque quizá quieras explorar un poco estas ideas por ti mismo.

Answer 5

$$\sqrt{45} = \sqrt{9\cdot 5} =3\sqrt{5}, $$ pero $\sqrt{5}$ no es racional.

Prueba breve: si $\sqrt{5}=\dfrac{a}{b}$ , $a,b\in\mathbb{N}$ y $GCD(a,b)=1$ entonces

$$ 5 = \dfrac{a^2}{b^2}, $$ $$ a^2 = 5b^2, $$

así que $5|a^2$ $\Rightarrow$ $5|a$ $\Rightarrow$ $5|b^2$ $\Rightarrow$ $5|b$ $\Rightarrow~~$ $GCD(a,b)=5$ . Contradicción.