¿Una medida de $\sigma$-finito siempre admite una partición contable cuyos componentes son uniformemente delimitadas por debajo o por encima?

Question

Deje $(A,\mathcal{A})$ ser una medida en el espacio y el $\mu$ $\sigma$- finito medida en $A$ tal que $\mu(A)=\infty$. Es cierto que, a continuación, uno puede encontrar un partición de $(A_m)_{m \geq 1}$ $A$ de manera tal que no sólo se $\mu(A_m) <\infty$, pero también se $\mu(A_m) > \delta$ todos los $m$ donde $\delta$ es arbitraria número positivo? ¿Qué acerca de un límite superior, es decir, podemos encontrar siempre una partición tal que $\mu(A_m) < M$ todos los $m$ y arbitraria en el número positivo $M$?

Sé que esto es algo elemental pregunta, pero aún estaría agradecido para una rápida certeza de que mi prueba a continuación para el límite inferior es correcta y algunos comentarios para el límite superior.

Answer 1

He aquí una prueba para el límite inferior: en Primer lugar, vamos a $(B_n)_{n \geq 1}$ ser una partición de $A$ tal que $\mu(B_n) < \infty$ for all $n \geq 1$. Then, for $m \geq 0$, inductivamente definir positiva enteros $k_m$ mediante el establecimiento $k_0=0$ y, por $m \geq 1$, $$ k_{m+1} = \operatorname{min} \left\{ k > k_m \, \colon \, \mu \left( \bigcup_{n=k_{m}+1}^{k} B_{n} \right) > \delta \right\},$$ donde pongamos $\min \emptyset = \infty$. Suponga que el conjunto de $\{m \colon k_m = \infty\}$ no está vacío y elegir su elemento más pequeño $m_0$. Entonces $\mu \left( \bigcup_{n=k_{m_0-1}+1}^{\infty} B_n \right) < \delta$ and thus $\mu(A) = \mu \left( \bigcup_{n=1}^{k_{m_0-1}} B_n \right) + \mu \left( \bigcup_{n=k_{m_0-1}+1}^{\infty} B_n \right) < \infty$, lo que es una contradicción. Por lo tanto $k_m < \infty$ todos los $m \geq 0$ y el partición de $(A_m)_{m \geq 1}$ definido por $$A_m = \bigcup_{n=k_{m-1}+1}^{k_m} B_n$$ tiene la propiedad requerida.

Answer 2

Deje $A$ un conjunto de todos los números naturales y $\cal{A}$ ser powerset de $A$. Deje $\lambda(\{n\})=n$ por cada $n \in N$. Definimos una medida $\mu$ $\cal{A}$ como sigue: $\mu(X)=\sum_{n \in X}\lambda(\{n\})$. A continuación, $\mu$ es un σ-finito medida tal que $\mu(A)=+\infty$, no es una partición de a $(A_m)_{m≥1}$ $A$ de manera tal que no sólo se $\mu(A_m)<\infty$ , pero también se $\mu(A_m)>\delta$ todos los $m$ donde $\delta$ es arbitraria en el número positivo y no hay un límite superior, es decir, para una partición arbitraria $(B_m)_{m \in N}$ no existe un número positivo $M$ tal que $\mu(B_m)<M$ todos los $m$.