Evaluar $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2 (2n-1)}$

Question

Cómo evaluar la serie $$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2n}(2n-1)} \binom{2n}{n}$$

La cuestión original era demostrar que para $$ a_n=\left(\frac{ 2n-3 }{ 2n }\right)a_{n-1} , a_1 = \frac 1 2, \text{ Show } \; \sum_{k=1}^\infty a_k < 1$$ Después de simplificarlo, obtuve el resultado anterior. Pero a partir de W|A lo anterior converge a $1$ . Espero no haber cometido ningún error. Aún así me gustaría saber cómo evaluarlo.

Answer 1

En primer lugar, reescribir el sumando como $$\frac{1}{4^n (2n-1)} \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{4^n (2n-1)n! n!} = \frac{2 (2n-2)!}{4^n n! (n-1)!} = \frac{2}{4^n n} \binom{2(n-1)}{n-1}.$$ Cambiando los índices en la suma, estás tratando de encontrar $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{4^{n+1} (n+1)} \binom{2n}{n} = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n (n+1)} \binom{2n}{n}$$ Desde el $n$ El número catalán es $\binom{2n}{n} \frac{1}{n+1},$ lo que necesita ahora es el función generadora de los números catalanes . Esto es $$\sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n} \frac{z^n}{n+1} = \frac{1 - \sqrt{1-4z}}{2z}.$$ Con $z = 1/4$ tenemos $$\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n (n+1)} \binom{2n}{n} = \frac{1}{2}\frac{1 - \sqrt{1-1}}{1/2} = 1.$$

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Añadido : Aquí también hay una interpretación probabilística. Imagina que dos jugadores juegan a un juego en el que cada uno lanza una moneda justa una vez por ronda. Se detienen cuando han acumulado exactamente el mismo número de caras. Entonces la probabilidad de que el juego termine en la ronda $n$ es precisamente el sumando $$\frac{2}{4^n n} \binom{2(n-1)}{n-1} = \frac{2}{4^n} C_{n-1},$$ con $C_n$ el $n$ El número catalán. (Véase, por ejemplo, mi respuesta aquí .) El hecho de que la serie infinita de la OP sume $1$ indica que el juego terminará con probabilidad $1$ .