El lema de Yoneda como generalización del teorema de Cayley

Question

He visto respuestas en preguntas en las que se preguntaba lo mismo. Primero han descrito qué es el lema de Yoneda y luego han deducido el teorema de Cayley a partir de él. Yo no pido eso.

Estoy planeando explicar el lema de Yoneda para un grupo de estudiantes que conocen algo de teoría de grupos algunas definiciones básicas en teoría de categorías.

No quiero demostrar el lema de Yoneda y decir que como caso especial podemos obtener el teorema de Cayley. Quiero recordar el teorema de Cayley y luego decir que se puede generalizar hasta cierto punto y luego enunciar y demostrar el lema de Yoneda.

Cualquier sugerencia es bienvenida.

Answer 1

$\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}$ $\newcommand{\Ob}{\operatorname{Ob}}$ $\newcommand{\Ar}{\operatorname{Ar}}$ $\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}$ $\newcommand{\End}{\operatorname{End}}$ $\newcommand{\Nat}{\operatorname{Nat}}$ $\newcommand{\cod}{\operatorname{cod}}$ $\newcommand{\dom}{\operatorname{dom}}$ $\newcommand{\id}{\operatorname{id}}$ $\newcommand{\com}{\operatorname{com}}$ $\newcommand{\Set}{\mathrm{Set}}$

Primero de todo, yo personalmente definir las categorías a ser estructuras de $C = (\Ob C, \Ar C, \dom, \cod, \id, ∘)$ donde $\Ob C$ es la clase de objetos, $\Ar C$ es la clase de flechas y

• $\dom \colon \Ar C → \Ob C$ es el dominio.
• $\cod \colon \Ar C → \Ob C$ es el codominio.
• $\id \Ob C → \Ar C$ es la identidad de selección.
• $∘ \colon \Ar C × \Ar C \dashrightarrow \Ar C$ la flecha de la composición.

Adaptarse a su definición. Esto lo que haría a continuación:

Deje $G$ ser un grupo. Cayley dice:

Hay un inyectiva grupo homomorphism $G → \Sym G$ donde $\Sym G$ es el grupo de bijections $G → G$.

Prueba. La inyección se administra por $G → \Sym G,~g ↦ (g·~)$ donde $(g·~)$ es la izquierda la multiplicación por $g$. Es un homomorphism desde $∀g,h ∈ G \colon (gh·~) = (g·~)∘(h·~)$. Está claro que es inyectiva debido a $(g·~) = \id_G ⇒ g·1 = 1$, por lo que su núcleo es trivial.

La prueba también muestra que la imagen de cada una de las $g ∈ G$, como a la izquierda de la multiplicación, respeta el derecho a la multiplicación por $h ∈ G$ desde $∀x ∈ G\colon g(xh) = (gx)h$. Entonces podemos especificar Cayley:

Hay un inyectiva grupo homomorphism $G → \Nat G$ donde $\Nat G$ es el subgrupo de bijections en $G$ respetando el derecho de acción de $G$, es decir,$\Nat G = \{σ ∈ \Sym G;~σ(gh) = σ(g)h\quad∀g,h ∈ G\}$.

Pronto veremos por qué hemos llamado a este subgrupo $\Nat G$.

Ahora, vamos a interpretar $G$ como una categoría de la siguiente manera:

Deje $C = (\Ob C, \Ar C, \dom, \cod, \id, ∘)$ ser la categoría con $\Ob C = \{\star\}$, $\Ar C = G$ con $\cod = \dom = \star$ (constantemente) y $\id \star = 1$ $∘$ es la multiplicación del grupo $G × G → G$.

Ahora, considere el contravariante hom-functor $h_\star = \Hom_C (–,\star) \colon C → \Set$. El único objeto que se puede aceptar es$\star$$\Hom_C (\star,\star) = \Ar C = G$. Cualquier transformación natural $h_\star → h_\star$ es por lo tanto, dado por una sola flecha $\Hom_C (\star,\star) → \Hom_C(\star,\star)$, es decir, mediante un mapa de $G → G$ (ya que en general está dado por una familia de flechas, una para cada objeto en $C$–, pero aquí sólo hay un único objeto). Este mapa $σ\colon G → G$ también respeta el derecho de acción de $G$ – esto viene de la connaturalidad: Para $g ∈ G$ $h ∈ H$ hemos $$σ(gh) = (σ∘h_\star(h))(g) = (h_\star(h)∘σ)(g) = σ(g)h,$$ y viceversa: utilizando la misma ecuación vemos que muy tales mapa de $σ$ respetando el derecho de acción de $G$ automáticamente produce una transformación natural $h_\star → h_\star$.

Por lo tanto, $\Nat (h_\star, h_\star) \cong \Nat G$ monoids. Y $G = \Ar C = \Hom_C (\star,\star)$. Y podemos repetir Cayley como

Hay un inyectiva monoid homomorphism $\Hom_C(\star,\star) → \Nat (h_\star, h_\star)$.

Debido a $\star$ es el único objeto de $C$$\Nat (h_\star,h_\star) = \Hom_{\Set^{C^\mathrm{op}}} (h_\star,h_\star) ⊆ \Ar \Set^{C^\mathrm{op}}$, se puede agrandar un monoid homomorphism a un functor enviando el objeto de $\star$ al objeto de $h_\star$, por lo que Cayley puede ser reformulado como

No es un fiel functor $C → \Set^{C^\mathrm{op}}$.

Resulta que la última instrucción se aplica al $C$ es cualquier categoría, no sólo una categoría que es un grupo en el disfraz. Y aún más es cierto: Este functor es, de hecho, completo.

Entonces yo diría que alguna versión de Yoneda ...