Witt p típico vectores son (entre otras cosas) una manera canónica de asociar a un perfecto anillo A del característico p un DVR completa de característica 0 con anillo de residuos una generalización Z_p y F_p.
¿Qué es interesantes/útiles sobre otros sabores de anillos de Witt, en particular el gran anillo de Witt?
Estoy particularmente interesada en conocer su motivación y aplicaciones originales.
Aquí es un artículo largo por Hazewinkel y una discusión sobre la nLab.
El functor de tomar grandes vectores de Witt es derecho medico adjunto del olvidadizo functor de lambda-anillos anillos conmutativos. Lambda anillos aparecen en topológica de la K-teoría y de la teoría de la representación, debido a que el vector de paquetes (y representaciones de grupos) han exterior poderes (estos son los lambda de operaciones).
W(Z) es aparentemente universal en varias opciones de configuración, tales como la simétrica de la teoría de la función (la cual creo es K0(finito de conjuntos)). Borger tiene una propuesta para la categoría de esquemas sobre el campo con uno de los elementos que involucran W(Z)-esquemas.
Estoy particularmente interesado en el conocimiento de su motivación original y aplicaciones.
Kummer teoría dice que cada grado-$n$ cíclico extensión de $L|k$ de cualquier campo de $k$ contiene una primitiva $n$-ésima raíz de $\zeta$ $1$ es de la forma $L=k(\root n\of D)$ para un poco de orden-$n$ subgrupo cíclico $D\subset k^\times/k^{\times n}$, y a la inversa.
(Algo se puede decir, incluso cuando $\zeta\notin k$ pero cuando $n$ es invertible en a $k$. Buscar un determinado ejercicio en Schoof del libro en catalán de la Conjetura.)
Esto deja fuera de grado-$p$ cíclico extensiones $L|k$ de una característica-$p$ campo. Artin-Schreier demostrado que $L=k(\wp^{-1}(D))$ algunos ${\mathbb F}_p$línea $D\subset k/\wp(k)$ donde $\wp:k\to k$ es el endomorfismo $x\mapsto x^p-x$ de aditivos de grupo $k$, y a la inversa.
¿Qué acerca de grado-$p^m$ cíclico extensiones $L|k$ de una característica-$p$ campo ? Muchas construcciones complicadas para casos particulares, en la década de 1930 (por gente como Albert) antes de Witt introdujo el anillo de $W_m(k)$ $p$- típico Witt vectores de longitud $m$ y el endomorfismo $\wp:W_m(k)\to W_m(k)$ de aditivos de grupo, y ha demostrado que $L=k(\wp^{-1}(D))$ para un poco de orden-$p^m$ subgrupo cíclico $D\subset W_m(k)/\wp(W_m(k))$, y a la inversa.
Hubo muchos otros documentos en el mismo volumen de Crelle 176 (1937) aplicación de los vectores de Witt a otros problemas pendientes. Mi favorita es la Naturaleza de la caracterización de los $\alpha$ en una extensión finita $K$ ${\mathbb Q}_p$ contiene una primitiva $p^m$-ésima raíz de $1$ para que la extensión de $K(\root p^m\of\alpha)|K$ es unramified ($p^m$-primaria números; ver por ejemplo el libro de Fesenko y Vostokov, disponible gratuitamente en Fesenko la página de inicio).
Véase también más Difícil, Wittvektoren, Jahresber. Deutsch. Matemáticas.-Verein. 99 (1997), no. 1, 18--48.
Una traducción al inglés de este artículo ha aparecido en Ernst Witt, Gesammelte Abhandlungen, Springer, Berlín, 1996.
Desde mi punto de vista (que es el que debo decir, básicamente mi, probablemente incorrecta, la interpretación de Borger) la parte de los intereses en la gran Witt anillo es que, al menos en el plano de caso donde no hay problemas con la torsión, uno no sólo tiene Frobenius ascensores en cada una de las prime - uno ha compatible Frobenius ascensores. Por "compatible" me refiero a que tiene que desplazarse.
Esto está más relacionado con la \Lambda-anillos en general, sino como un ejemplo, considere la posibilidad de colocar un \Lambda-estructura en Z[x], es decir, afín a la línea a través de los números enteros. Entonces la restricción que queremos desplazamientos de Frobenius ascensores significa que hay exactamente dos \Lambda estructuras en Z[x] es decir, la más obvia cuando x -> x^p para cada uno de los primos p y un segundo dadas por polinomios de Chebyshev. Este es creo que, claramente, no es cierto si dejamos caer la conmutatividad de la condición.
Para ampliar un poco sobre lo que Scott ha mencionado y conectar de nuevo el W(-) permítanme decir lo siguiente. De Borger el punto de vista de la functor de tomar grandes vectores de Witt, deben ser vistos como "base olvido" de la Z a la F_ 1 o en otras palabras, un \Lambda-la estructura debe ser visto como el descenso de datos para F_ 1. Desde este punto de vista, tener información compatible en cada uno de los prime parece, al menos para mí, bastante natural.
Yo creo que hay otras razones relacionadas con los grandes de Rham Witt cohomology - es decir, que si uno se tira de los números primos se pierde la información, pero yo realmente no sé lo suficiente para decir nada con certeza.
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