Sobre la existencia de una biyección continua $f\colon [0,1]\to [0,1]\times [0,1]$

Question

Dejemos que $f$ sea una función continua sobre $[0,1]$ tal que $f([0,1])=[0,1]\times[0,1].$ Entonces demuestre que $f$ no es uno-uno.

Se agradecerán las sugerencias.

Answer 1

Supongamos que $f:K\rightarrow X$ donde $K$ es un espacio topológico compacto, $X$ es un espacio topológico de Hausdorff y $f$ es continua, entonces para cualquier conjunto cerrado $F\subseteq K$ tenemos que $F$ es compacto y por lo tanto $f(F)$ es compacto en $X$ y por lo tanto cerrado en $X$ .

Ahora bien, si $f$ es uno a uno y en esto se demuestra que $f^{-1}$ es continua. Y por lo tanto un homeomorfismo.

Sugerencia: aplique esto a su $f$ con $K=[0,1]$ y $X=[0,1]\times [0,1]$ . Usted conseguirá que $f$ es un homeomorfismo entre $K$ y $X$ Finalmente sólo hay que demostrar que no es posible ( $K-\{0.5\}$ y $X-\{f(0.5)\}$ debería ser también homeomórfico).

Answer 2

Una pista: Para cada $x\in [0,1]^2$ ,

$$[0,1]^2 - \{x\}$$ está conectado, pero

$[0,1] - \{1/2\}$ no lo es.

Answer 3

Supongamos por el contrario que $f\colon [0,1]\rightarrow [0,1]\times [0,1]$ es una biyección continua. Entonces su la inversa también es continua es decir, es un homeomorfismo. Supongamos que $f(\frac{1}{2})=(x,y)$ .

Entonces $f$ induce un homeomorfismo $g\colon [0,1]\setminus \{\frac{1}{2}\}\to ([0,1]\times[0,1])\setminus \{(x,y)\}$ pero el dominio no es conexo, mientras que la imagen es conexa, lo cual es una contradicción.

Answer 4

Pista: El espacio $[0,1]^2$ contiene curvas jordanas cerradas no triviales. Sin embargo, $[0,1]$ no lo hace.