¿Es importante alguna prueba elemental (además del trabajo de Selberg)?
Además, ¿por qué es tan importante la prueba elemental de la teoría de los números primos de Selberg? Selberg fue galardonado con la medalla Field principalmente por esta prueba elemental, ¿verdad?
No soy un experto en el trabajo de Selberg, pero tengo la impresión de que hubo mucho más que su (y la de Erdos... ) demostración "elemental" del teorema de los números primos. En concreto, demostró que una proporción positiva de los ceros de la zeta de Riemann se encuentra en la línea crítica. También desarrolló su "tamiz" durante esa época.
Deduzco que la idea de la demostración elemental del teorema de los números primos era retroceder posiblemente a partir de ella para hacer algún avance sobre los ceros de zeta, de hecho. Sin embargo, el término de error obtenido no era lo suficientemente agudo como para demostrar una franja sin ceros.
En general, "elementalidad" y "claridad" no son lo mismo... aunque la eliminación de la complejidad innecesaria es obviamente buena. Pero el truco está en que la "complejidad" en sí misma puede ser "elemental", de modo que la conversión a un argumento que utilice matemáticas estándar (pero no "elementales") de forma directa es mucho más preferible que una prueba "elemental" ingeniosa pero inescrutable, para mi gusto.
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