Integración utilizando las transformadas de Laplace

Question

ps

Se supone que debo resolver esto usando Transformaciones de Laplace.

He estado intentando esto desde esta mañana, pero no lo he descubierto. ¿Alguna sugerencia para empujarme en la dirección correcta?

Answer 1

Deje $f(x)$ denotar la integral, y que asuma temporalmente $x > 0$. Esto no hace ninguna diferencia desde $f(x)$ es incluso por definición. Entonces su transformada de Laplace $\mathcal{L}f(s)$ define una función continua en a $s \in (0, \infty)$ (de hecho, se define una analítica de la función en $\Re(s) > 0$). Por lo tanto podemos suponer, además, que el $s \neq 1$ y, a continuación, se basan en la continuidad del argumento. Entonces

\begin{align*} \mathcal{L}f(s) &= \int_{0}^{\infty} f(x)e^{-sx} \, dx = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(xt)}{1+t^2} e^{-sx} \, dtdx \\ &\stackrel{*}{=} \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(xt)}{1+t^2} e^{-sx} \, dxdt \\ &= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+t^2} \frac{s}{s^2+t^2} \, dt \\ &= \frac{s}{1-s^2}\int_{0}^{\infty} \left( \frac{1}{s^2+t^2} - \frac{1}{1+t^2} \right) \, dt \\ &= \frac{s}{1-s^2} \frac{\pi}{2} \left( \frac{1}{s} - 1 \right) = \frac{\pi}{2} \frac{1}{1+s}. \end{align*}

Aquí, el cambio de orden de integración $(*)$ se justifica por el teorema de convergencia dominada. A pesar de que hemos demostrado que esta para $s \neq 1$, que permanece válida por la continuidad del argumento como se mencionó anteriormente. Luego por la unicidad de la transformada de Laplace, nos encontramos con que

$$ f(x) = \frac{\pi}{2}e^{-x}. $$

Por lo tanto, tenemos

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(xt)}{1+t^2} \, dx = \frac{\pi}{2} e^{-\left|x\right|}. $$

Answer 2

Laplace:$$ I= \int\limits_{0}^\infty {\cos(xt)\over 1+t^2}\,\mathrm dt=\left[ \int\limits_{0}^\infty {\cos(xt)\over 1+t^2} e^{-st}\,\mathrm dt \right]_{s=0} =\mathcal{L}\left[ {\cos(xt)\over 1+t^2} \right]_{s=0}$ $$$ f(t)=\frac{\cos(xt)}{1+t^2} $ $$$ (1+t^2)f(t)=\cos(xt) $ $$$ \downarrow\mathcal{L}$ $ Tenemos una ecuación diferencial de segundo orden, después de encontrar$$ \frac{\mathrm d^2}{\mathrm ds^2}F(s)+F(s)=\frac{s}{s^2+x^2} $ ponemos cero en lugar de$ F(s) $.

Donde hemos utilizado:$ s $ $$$ \boxed{\mathcal{L} \big\{ t^nf(t)\big\}=(-1)^n \dfrac{\mathrm d^n}{\mathrm ds^n}F(s)} $ $

Answer 3

Podemos usar theorm de residuos para resolver este problema

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 14 15 16 17 14 15 16 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 Siguiente Último \begin{cases} z_1=i &\mbox{Acceptable (uhp)} \\ z_2=-i & \mbox{Ineligible (lhp) } \end{casos} $$

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