El área que preserva la transformación en un espacio dimensional más alto es unitario.

Question

En $\mathbb{R}^3$, un operador lineal $Q:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ preserva el área de los paralelogramos: es decir, dado $x,y\in \mathbb{R}^3$, el área de un paralelogramo formado por $x$ $y$ es la misma que el área de un paralelogramo formado por $Qx$$Qy$. Mostrar que $Q$ debe ser unitaria (es decir, $Q^T Q=I$ donde $I$ es la identidad.)

Esto es de Shilov del Álgebra Lineal, Capítulo $8$, el ejercicio $32$. Soy auto-estudio y tratando de hacer algunos ejercicios, pero estoy muy confundido en este. Yo no sé ni cómo mostrar la sugerencia: para mostrar que $Q$ debe preservar el derecho de los ángulos: si $(x,y)=0$, $(Qx,Qy)=0$ también (donde $(\dot{},\dot{})$ medio punto del producto).

Answer 1

Sugerencia: Área de paralelogramo$\Delta = \|x\| \|y\| \sin \theta $, donde$\theta $ es el ángulo entre los dos vectores$\theta = \cos^{-1} \dfrac{x^T y}{\|x\| \|y\|}$

Answer 2

Sugerencia: En $\Bbb R^3$, el área del paralelogramo es dado por $\| x \times y \| = \|x\|\|y\| \sin \theta$ donde $\theta$ es el ángulo entre el $x$ $y$ $\times$ denota el producto cruzado. El uso de Lagrange identidad: $$\|x\|^2\|y\|^2 - (x,y)^2 = \|x \times y \|^2 \\ \|x\|^2\|y\|^2 - (x,y)^2 = \|x\|^2\|y\|^2 \sin^2 \theta$$ donde $\theta$ es el ángulo entre el$x$$y$. También, por hipótesis, tenemos $$\|x\|\|y\|\sin \theta = \|Qx\|\|Qy\| \sin \varphi$$ donde $\varphi$ es el ángulo entre el$Qx$$Qy$. La repetición de la identidad de Lagrange, obtenemos: $$\|Qx\|^2\|Qy\|^2 - (Qx,Qy)^2 = \|Qx\|^2\|Qy\|^2\sin^2 \varphi$$Suppose $(x,y) = 0$. Joining everything, we get: $$\|x\|^2\|y\|^2 = \|Qx\|^2\|Qy\|^2 - (Qx,Qy)^2$$ Intente hacer algo a la conclusión de que la $(Qx,Qy) = 0$, para empezar. Estoy pensando en el problema, y si se me ocurre algo más, voy a editar la respuesta aquí.

Answer 3

En lugar de utilizar la identidad de Lagrange para el área de un paralelogramo y haciendo el algebraicas de trabajo (a menudo sin éxito), se podía ver que las transformaciones de preservar las áreas de: rotaciones, reflexiones (transformaciones unitarias) y aquellos que no: de corte, de escala, de las proyecciones.

Vamos a utilizar la descomposición de valor singular $Q=UDV^*$, donde U y V son matrices unitarias y D es una matriz diagonal con elementos no negativos que representan a una aplicación no uniforme de la escala. Para Q sea el área de la preservación de D tiene que ser la matriz identidad, y por lo Q -- unitaria como un producto de matrices unitarias.

Answer 4

"se pueden ver las transformaciones que preservan las áreas: rotaciones, reflexiones (transformaciones unitarias) y las que no: cizallamiento, escalamiento, proyecciones". (citado de rych)

Tijeras preservar las áreas. El área de un rectángulo / paralelogramo es la base veces la altura, no importa cómo es cizallado paralelo a su lado.