"Converse" de Taylor ' teorema s

Question

Que $f:(a,b)\to\mathbb R$. Sabemos que cada $c\in(a,b)$ podemos escribir $f(t)=\sum_{i=0}^k a_i(c)(t-c)^i+o\left((t-c)^k\right)$ y $\forall i$ $a_i(c)$ es continuo (withrespect to $c$). ¿Podemos concluir que el $f$ es de clase $C^k$?

Answer 1

EDIT: Lo que está escrito a continuación no conteste a la pregunta original, debido a que la resultante de las funciones de $a_i(c)$ no son continuas. Voy a dejar publicado por ahora porque basta para ilustrar que la demanda puede fallar sin la continuidad de la $a_i$.

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Este "conversar" es falso, como he aprendido de Fedor Petrov contribución a MathOverflow de la lista común de las falsas creencias en matemáticas (quizás una de las mejores preguntas que he pedido en ese sitio). En un avergonzado de correo electrónico a la Prof. Petrov me admitidos para la celebración de esta creencia, por lo que me proporcionó el contraejemplo \[ f(x) = \begin{cases} \sin (e^{1/x^4}) e^{-1/x^2} & x\neq 0, \\ 0 & x=0. \end{casos} \] Esta función es $C^\infty$ todas partes, excepto en $x=0$. Llega a cero muy rápidamente como $x\to 0$, pero dentro de ese $e^{-1/x^2}$ sobres se mueve más rápido de lo que se va a cero. El resultado es que el $f(x) = o(x^n)$ todos los $n$$x\to 0$, pero un rápido cálculo muestra que $f'(x)$ no es continua en cero. Por lo $f$ es diferenciable, pero aun no $C^1$.