¿Cómo puedo visualizar conjuntos de vectores independientes y dependientes?

Question

¿Puede alguien ayudarme a visualizar esos conceptos? También me ayudará a entenderlo mejor. Gracias :)

Answer 1

Euclidiana de los vectores de la forma más fácil de visualizar. Vamos a ir a través de este en los pasos. Vamos a saltar de un conjunto de sólo un vector hasta el final y comenzar con un conjunto de dos vectores.

Si un conjunto de dos Euclidiana vectores es linealmente dependiente , entonces existe una línea que contiene todos los dos vectores y el origen. Si un conjunto de dos Euclidiana vectores es linealmente independiente, entonces no hay no existe una línea que contiene dos vectores y el origen.

Si un conjunto de tres Euclidiana vectores es linealmente dependiente de la entonces existe un plano que contiene los tres vectores y el origen. Si un conjunto de tres Euclidiana vectores es linealmente independiente, entonces no hay no existe ningún plano que contiene los tres y el origen.

Del mismo modo, si un conjunto de $n$ Euclidiana vectores es linealmente dependiente , entonces existe un $(n-1)$-dimensiones subespacio que contiene a todos los $n$ vectores y el origen. Si un conjunto de $n$ Euclidiana vectores es linealmente independiente, entonces no existe la $(n-1)$-dimensiones subespacio que contiene a todos los $n$ vectores y el origen. Esto es un poco más difícil de visualizar para $n\gt 3$.

Ahora vamos a tratar el caso de un conjunto de sólo $1$ vector. Debe ser cierto que un conjunto de uno Euclidiana del vector es linealmente dependiente si y sólo si existe un $0$-dimensiones subespacio que contiene el vector y el origen. Pero, ¿qué es un cero-dimensional subespacio? Se trata de un punto. Así que si un cero-dimensional subespacio es un punto, entonces la única cero-dimensional subespacio que contiene el origen debe ser el origen. Así, vemos que un conjunto de $1$ vectores es linealmente dependiente si y sólo si el vector es el vector cero.

(Fuente de las Imágenes)

Answer 2

Trabajemos en $\mathbb{R}^2$ . Puedes visualizar los vectores como flechas, y añadirlos colocando las flechas cabeza con cola.

Eso es lo que vamos a hacer para visualizar vectores linealmente dependientes y linealmente independientes.

Aquí hay una colección de vectores:

$$ \begin{aligned} A &= (2, 0)\\ B &= (1, -1)\\ C &= (1, 1) \end{aligned} $$

Si se dibuja cada uno de estos vectores como flechas en la misma cuadrícula de coordenadas, se vería como (una versión mejor dibujada de) esto.

        |    C
        |   /
        |  /
        | /
--------o--------A
        | \
        |  \
        |   \
        |    B

(Obsérvese que el vector $A$ coincide con el $x$ -eje).

¿Son estos vectores linealmente independientes? No, son dependientes, ya que $A = B + C$ . Y si usted puso $B$ a la cabeza de $C$ , usted obtendría $A$ .

        |    C
        |   / \
        |  /   \
        | /     \
--------o--------A
        |
        |  
        |   
        |    

Puedes pensar en la independencia lineal como eficiencia: ¿realmente necesitas todo lo que tienes, o algunas de tus herramientas son superfluas?

Supongamos que alguien te pide que construyas un puente con los vectores $A, B, C$ . Ahora te piden que construyas el mismo puente con sólo $B$ y $C$ . ¿Puedes hacerlo?

Claro, ya que siempre que hubieras utilizado un $A$ podría utilizar sólo una copia de $B$ más una copia de $C$ .

(De hecho, podrías construir el mismo puente con dos de ellos cualquiera, ya que también puedes hacer $C$ de $A$ y $B$ utilizando $A - B = C$ .)

Incluso si te dieran una copia más corta de $C$ como $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ se permite escalar el vector por una constante antes de usarlo, por lo que podrías duplicarlo y seguir haciendo $A$ . Aquí es donde combinaciones lineales entrar.

A lineal independiente es uno en el que ninguno de los elementos se puede hacer con una combinación de los otros, incluso con el escalado permitido.

Answer 3

Lo siguiente es bastante intuitivo:

Una lista $(a_1,a_2,\ldots,a_r)$ de vectores $a_k\in V$ es linealmente independiente si ninguno de los $a_k$ , $1\leq k\leq r$ es una combinación lineal de sus predecesores en la lista. Esto implica que para cada $k$ uno tiene $${\rm dim}\bigl({\rm span}(a_1,\ldots, a_k)\bigr)={\rm dim}\bigl({\rm span}(a_1,\ldots, a_{k-1})\bigr)+1\ ,$$ para que $${\rm dim}\bigl({\rm span}(a_1,\ldots, a_r)\bigr)=r\ .$$

Answer 4

Un conjunto de linealmente independiente vectores: elige cualquier vector de este conjunto y no puedes escribirlo como una combinación lineal de los otros vectores de este conjunto. Por ejemplo, supongamos que $\{x_1,x_2,x_3\}$ es un conjunto de vectores linealmente independientes. Supongamos que se quiere escribir $x_2$ como una combinación lineal de $x_1$ y $x_3$ es decir $x_2 = a\cdot x_1 + b\cdot x_3$ con $ a,b \in \mathbb{R}$ . Como los vectores son linealmente independiente Esto es imposible. Un ejemplo más concreto (que ilustra exactamente lo mismo) se hace tomando $x_1 = \sin x , x_2 = \tan x , x_3 = \cos x$

Un conjunto de depende linealmente vectores: de nuevo escoge cualquier vector de este conjunto. Entonces puede escribirlo como una combinación lineal de los otros vectores del conjunto. Un ejemplo podría ser $\{x,2,x+2\}$ vemos que

$x = 1\cdot(x+2) -1 \cdot x$
$2 = 0\cdot x + 1\cdot 2$
$x+2 = 1\cdot x + 1\cdot 2$

Answer 5

Dos vectores paralelos son linealmente dependientes. Tres vectores situados en un plano son linealmente dependientes. Cuatro vectores situados en el mismo hiperplano tridimensional son linealmente dependientes.

En un espacio n-dimensional, se pueden encontrar como máximo n vectores linealmente independientes.

Piensa en los vectores como varillas con las que quieres abarcar una tienda: una varilla te da sólo una línea, dos varillas te dan una cara. necesitas una tercera varilla fuera de ese plano (linealmente independiente) para abarcar un volumen. Cualquier varilla adicional no puede abarcar una cuarta dimensión, por lo que cuatro varillas en tres dimensiones deben ser linealmente dependientes.