Prueba por división de inducción Pregunta:$12\mid 3^n + 7^{n-1} + 8$

Question

Demuestre que$3^n + 7^{n-1} + 8$ es divisible por$12$ para todos los enteros positivos$n$.

He demostrado que es cierto para$n=1$ y he hecho el 'asumir$n=k$' paso, pero después de obtener$3^{k+1} + 7^k + 8$, estoy atascado. ¿A donde voy desde aqui?

Answer 1

INSINUACIÓN: $3^{k+1}+7^{k}+8=7(3^{k}+7^{k-1}+8)-4\cdot3^{k}-6\cdot8=7(3^{k}+7^{k-1}+8)-12(3^{k-1}+4)$

Aclaración de dónde viene esto:
$3^{k+1}=3\cdot3^{k}=7\cdot3^{k}-4\cdot3^k$
similar $8=7\cdot8-6\cdot8$

Answer 2

Sugerencia: muestre que$3^{k+1}+7^k+8 = 3\cdot\left(3^{k}+7^{k-1}+8\right)+4\cdot \left((3\cdot 2+1)^{k-1}-3-1\right)$ es divisible por$3$ y$4$.

Answer 3

El siguiente paso es relacionar la expresión que tiene para $k+1$ a la expresión de $k$ (no es necesario, por cierto, para cambiar la notación de$n$$k$)

Puesto que la expresión implica poderes, probablemente tendrá que multiplicar por algo, y $3$ $7$ son candidatos obvios.

Así que vamos a $f(k)=3^k+7^{k-1}+8$, entonces tenemos $$f(k+1)=3^{k+1}+7^k+8=3f(k)+g(k)$$ where $g(k)$ is to be found by putting in what we know for $f(k)$. We know that $12|f(k)$ and if we can prove that $12|g(k)$ hemos terminado.

Este destruye el poder de la $3$, pero no de inmediato obtener todo el camino. Pero vaya con confianza, un paso a la vez.

Answer 4

Podría ser más fácil dividir en los dos casos:$\pmod 3$ y$\pmod 4$ luego combinar usando el Teorema del Resto Chino .

Es decir, probamos:

$3^n+7^{n-1}+8 \equiv 0 \pmod 4$ para todos $n \geq 1$

y

$3^n+7^{n-1}+8 \equiv 0 \pmod 3$ para todos $n \geq 1$.