¿Qué se debe agregar a $x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x - 1$ para que sea exactamente divisible por $x^2 + 2x - 3$?

Question

Soy un estudiante de noveno grado, así que por favor trata de explicar la respuesta en términos simples. No logro entender completamente la explicación en mi libro. Simplemente asume que la expresión que se debe agregar tiene un grado de 1.

Pido disculpas si esta pregunta es demasiado simple o simplemente estúpida, pero es una duda genuina.

Answer 1

Imagina que agregamos $ax+b$ al polinomio dado, obteniendo un nuevo polinomio $$P(x)= x^4 +2x^3-2x^2+x-1+ax+b.$$

Observa que $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$. Entonces, si $x^2+2x-3$ divide nuestro nuevo polinomio $P(x)$, entonces $P(1)=0$ y $P(-3)=0.

Tenemos $$P(1)=a+b+1, \qquad\text{y}\qquad P(-3)=-3a+b+5.$$

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales $a+b+1=0$, $-3a+b+5=0$ para $a$ y $b$.

Nota: Hemos omitido un paso lógico que en principio no se debería omitir. Si $ax+b$ debe funcionar, nuestro argumento muestra que $a$ y $b$ deben satisfacer las dos ecuaciones. No hemos mostrado que si $a$ y $b$ satisfacen las dos ecuaciones, entonces $ax+b$ funciona automáticamente. Esto de hecho es cierto, pero requiere algo de teoría.

Answer 2

La divisibilidad de polinomios sigue muchas de las mismas reglas que la divisibilidad de números. En particular, es posible realizar una "división larga" con polinomios de la misma manera que con enteros:

$$x^4+2x^3-2x^2+x-1 = x^2(x^2+2x-3)+x^2+x-1$$

Esto significa que queda un resto de $x^2+x-1$ después de dividir por $x^2+2x^3-3$. Si restamos estos dos polinomios (es decir, dividimos y buscamos el resto), obtenemos $-x+2$ como el resto final, lo que significa que

$$x^4+2x^3-2x^2+x-1=(x^2+1)(x^2+2x-3)-x+2$$

Por lo tanto, debería estar bastante claro qué necesitas agregar para hacer que la expresión original sea divisible por $x^2+2x-3$.

En general, si tu divisor es de grado $n$, entonces el resto después de la división puede ser a lo sumo de grado $n-1$, al igual que el resto después de la división de enteros por $k$ será a lo sumo $k-1$. Por eso el libro te diría que busques un desplazamiento de polinomio de grado $1$ para un divisor de grado $2.

Answer 3

Pista: $x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x - 1 = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x^2 + 2x - 3- x+2 = (x^2+1)(x^2 + 2x - 3) -(x-2).$

Answer 4

Pista: divide $-2x^2=-3x^2+x^2$ para obtener dos trinomios algo similares (uno debería verse un poco como tu $x^2+2x-3).. ¿qué coeficientes te impiden factorizar correctamente $x^2+2x-3$ de ambas partes? ¿Cómo puedes 'arreglar' dichos coeficientes?

Answer 5

Si no quieres usar la división larga polinómica, puedes factorizar $x^2+2x-3$ viendo que tiene raíces en $1$ y $-3$, Luego, necesitas agregar un polinomio de grado 1 a tu polinomio de manera que la suma sea divisible por $x-1$ y $x+3$. Esos son primos relativos, así que la suma será entonces divisible por el producto, que es $x^2+2x-3$. Entonces,

$$ \begin{aligned} x^2 + 2x -3 &\mid x^4+2x^32x^2+x1+ax+b\ \mbox{si}\\ (x-1)(x+3) &\mid x^4+2x^32x^2+x1+ax+b\\ P(1) &= P(-3) = 0\ \mbox{donde}\\ P(x) &= x^4+2x^32x^2+x1+ax+b\\ P(1) &= a + b + 1 = 0,\\ P(-3) &= -3a + b + 5 = 0\\ a + b &= -1\\ -3a + b &= -5\\ a&=1\\ b&=-2 \end{aligned} $$

Agregado

El póster preguntó por qué necesitaba un polinomio de grado $1$. Recuerda que los enteros tienen esta propiedad: cuando divido el entero $a$ por el entero $b$, obtengo una ecuación:

$$ a = bq + r,\quad 0\le r < |b|. $$

El valor absoluto es lo que llamamos una norma euclidiana, y la división tiene el resto con su norma más pequeña que el dividendo. Los enteros $\mathbb{Z}$ se llaman un anillo euclidiano.

Los polinomios también son un anillo euclidiano, donde la norma es simplemente el grado:

$$ a(x) = b(x)q(x) + r(x),\quad 0\le \deg r < \deg b. $$

Entonces, si hubieras encontrado una solución arbitraria $p(x)$ a tu problema, entonces podrías dividir $p$ por $x^2+2x-3$ y obtener un resto de grado menor que $2$, y eso sería único. Así que usa $ax+b$ para que solo tengas que encontrar dos enteros.