¿Qué hay de malo en conjuntos como $\{a,\{a\},\{\{a\}\},\ldots\}$

Question

No sé casi nada sobre la teoría de conjuntos más allá de las matemáticas de primer año, así que pido disculpas si esta es una pregunta estúpida.

El axioma de regularidad en ZFC, tal como lo he entendido, prohibiría la existencia de los siguientes conjuntos:

$\{a,\{a\},\{\{a\}\},\{\{\{a\}\}\},\ldots\}$

$\{a,\{a\},\{a,\{a\}\},\{a,\{a\},\{\{a\}\}\},\ldots\}$

¿Por qué no deberían existir estos conjuntos? ¿Se puede demostrar que su existencia conduce a una contradicción? Conozco la paradoja de Russell, pero ¿no es un poco exagerado prohibir conjuntos como los anteriores, ya que parece que no conducen a paradojas como el conjunto de Russell?

También es posible crear un conjunto de axiomas que permitan la existencia del máximo número de conjuntos que no lleven a una contradicción?

Answer 1

Lo tienes al revés, esos conjuntos están perfectamente bien. De hecho, los números ordinales son una clase enormemente importante de conjuntos de la forma del segundo ejemplo.

El axioma de regularidad dice que no hay infinitas cadenas descendentes bajo inclusión, es decir, que no existen infinitas $S_i$ tal que $\cdots \in S_{i+2}\in S_{i+1}\in S_i\in\cdots\in S_1$ . Es una consecuencia del axioma de regularidad que ningún conjunto es un elemento de sí mismo.

El axioma de regularidad efectivo impide que haya conjuntos infinitamente anidados como $\cdots\{\{a\}\}\cdots$ . Si nos fijamos en el ejemplo del título, lo que está en juego es la existencia del límite de la secuencia definida por los elementos de los conjuntos. Ese límite no corresponde a un conjunto