Probar que$\Bbb{Z}[i]/J$ no es isomorfo a$\Bbb{Z}$

Question

Si$J$ es un ideal primario, pruebe que$\Bbb{Z}[i]/J$ no es isomorfo a$\Bbb{Z}$.

Mi intento: Como$\mathbb{Z}[i]$ es un PID, entonces$J$ es un ideal máximo, entonces$\mathbb{Z}[i]/J$ es un campo. Por lo tanto, el resultado sigue. Sólo quiero algunos enfoques alternativos.

Answer 1

El$J=0$ ideal no funciona, por lo que podemos suponer que existe un elemento$a+bi\neq0$ en$J$. Pero el entero$m=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2>0$ es un elemento de$J$. Por lo tanto, el orden aditivo de$1$ en el cociente$\Bbb{Z}[i]/J$ es un factor de$m$. Lo más notable es finito. Por lo tanto, el anillo cociente no es isomorfo a$\Bbb{Z}$.

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Parece que no necesitaba el supuesto de que$J$ es un ideal primordial :-)

Answer 2

Supongamos que$\Bbb{Z}[i]/J$ es isomorfo a$\Bbb{Z}$ para algún ideal$J\subset\Bbb{Z}[i]$. Dado que$\Bbb{Z}[i]$ es un PID hay$a,b\in\Bbb{Z}$ tal que$J=(a+bi)$. Entonces$(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\in J\cap\Bbb{Z}$, del cual sigue que$a^2+b^2=0$. Pero entonces$a+bi=0$ so$\Bbb{Z}[i]/J$ no es isomorfo a$\Bbb{Z}$, una contradicción.

Answer 3

Considere el homomorfismo de anillo único$\chi\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}[i]/J$,$n\mapsto n+J$.

Si$J\ne\{0\}$,$\chi$ no es un isomorfismo: no es inyectivo, como$x\in J$,$x\ne0$, implica$x\bar{x}\in\ker\chi$.

Si$J=\{0\}$,$\chi$ no es un isomorfismo: no es surjectivo, como$i\notin\chi(\mathbb{Z})$.