$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt[104]{x}}{\sqrt[3]{7+\sqrt[5]{6+\sqrt[7]{x+17}}}}$

Question

ps

Necesito tomar este límite. I suceed en probar eso:

ps

Pensé que esto me ayudaría, pero al final, tengo:

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

ps

Lo cual no me ayuda. ¿Hay una manera de resolver esto por comparsion? Sería mejor para mí. Si no es así, ¿existe alguna manera de eliminar estas raíces?

Answer 1

Aquí hay una sugerencia amplia: cuando$y\gt 7$, entonces$\sqrt[3]{7+y} \leq \sqrt[3]{y+y}=\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{y}$. ¿Puede ver cómo puede utilizar esto varias veces para limitar el denominador desde arriba (en lugar de por debajo) por un múltiplo constante de$\sqrt[105]{x}$ para suficientemente grande$x$?

Answer 2

Para$x$ lo suficientemente grande tenemos$x+17<2^7x$, así que$$\sqrt[7]{x}<\sqrt[7]{x+17}<2\sqrt[7]{x}.$ $ Por lo tanto, para$x$ #% big enough$6+\sqrt[7]{x+17}<6+2\sqrt[7]x<2^5\cdot \sqrt[7]{x} $ y luego$$\sqrt[35]{x}<\sqrt[5]{6+\sqrt[7]{x+17}}<2\sqrt[35] x.$ $ Concluimos$x$ $ para$7+\sqrt[5]{6+\sqrt[7]{x+17}}<7+2\sqrt[35] x<2^3\sqrt[35]x$ suficientemente grande.