¿Por qué es esto cierto? ¿Cómo lo obtienen?

Question

En mi libro, vi una muy larga prueba de algunos teorema y traté de comprender su prueba. Pero, me di cuenta de una declaración (en realidad una implicación) que yo no podía entender. Esto es confuso parte de la prueba:

[...] y deje $P$ al conjunto para el cual [...], y a continuación la declaración de $$\forall a\in\mathbb{R}\left(\left(a=0\lor\exists b\in P\left(a+b\in P\right)\right)\implies a\in P\right)$$ es equivalente a $$0\in P\land\forall a\in\mathbb{R}\left(\exists b\in P\left(a+b\in P\right)\implies a\in P\right)$$

Por tanto, no puedo entender cómo llegaron a la conclusión de que. La definición de sistema $P$ es irrelevante. Han de alguna manera la conclusión de que $0$ es elemento de a $P$. También, ¿cómo se tire de la parte de fuera de los corchetes?

Probablemente hay algo de lógica tautología se ha aplicado aquí. pero no estoy seguro de que. De antemano gracias por la explicación.

Answer 1

$$\forall a\in\mathbb{R}((a=0\lor\exists b\in P (a+b\in P))\rightarrow a\in P) \Leftrightarrow$$

$$\forall a\in\mathbb{R}((a=0\rightarrow a\in P)\land(\exists b\in P (a+b\in P)\rightarrow a\in P)) \Leftrightarrow$$

$$\forall a\in\mathbb{R}(a=0\rightarrow a\in P)\land\forall a\in\mathbb{R}(\exists b\in P (a+b\in P)\rightarrow a\in P) \Leftrightarrow$$

$$0\in P\land\forall a\in\mathbb{R}\left(\exists b\in P\left(a+b\in P\right)\rightarrow a\in P\right)$$

Paso 1 es debido a la equivalencia general: $(P \lor Q) \rightarrow R \Leftrightarrow (P \rightarrow R) \land (Q \rightarrow R)$

Paso 2 es debido a la equivalencia general: $\forall x (P(x) \land Q(x)) \Leftrightarrow \forall x \ P(x) \land \forall x \ Q(x))$

Paso 3 es debido a la equivalencia general: $\forall x (x = c \rightarrow P(x)) \Leftrightarrow P(c)$

Answer 2

De la primera declaración, si se toma sólo la primera parte de la premisa, obtendrá:

$\forall a\in\mathbb{R}, (a=0) \Rightarrow (a\in P)$ ; Esto es equivalente a $0\in P$.

Va la segunda parte de la premisa de:

$\forall a\in\mathbb{R}, (\exists b\in P$s.t. $(a+b) \in P) \Rightarrow (a\in P)$

Es inalterable en la segunda declaración.

Por lo tanto, las dos declaraciones son de hecho equivalentes.

Answer 3

Creo que es la tautología lógica que busca

es equivalente a $\left( p \lor q \right)\implies r$ $\left( p \implies r \right) \land \left( q \implies r \right)$