Ayuda Cálculo de $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2n}}{e^k -1}$

Question

Hace poco, leí un libro : Euler, Riemann, Ramanujan - Contacto matemático más allá del espacio-tiempo por Nobushige Kurokaw. Dice que Ramanujan había encontrado la siguiente fórmula

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{e^{2k \pi}-1}=\frac{1}{24}-\frac{1}{8\pi}$$

Después de unos meses, logré encontrar una fórmula similar utilizando la fórmula de Euler-Maclaurin:

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{e^k -1}=\frac{{\pi}^2}{6}-\frac{11}{24}$$ $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{2n-1}}{e^k -1}=\frac{\left| B_{2n}\right|}{4n}((2\pi)^{2n}+(-1)^{n+1}) \quad when \quad n>1$$

Me pregunto si podemos generalizar la siguiente fórmula:

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{2n}}{e^k -1}$$

Lo he intentado de varias maneras, pero he fracasado. Por favor, respondan usuarios~~~

PS. Es la primera vez que respondo a una pregunta en este sitio. Así que podría haber cometido algunos errores al escribir ....

Answer 1

Dice la CAS:

$$\sum _{k=1}^{\infty } \frac{k^{2 n}}{\exp (k)-1}=\sum _{j=1}^{\infty } \left(\sum _{k=1}^{\infty } k^{2 n} \exp (-j k)\right)=\sum _{j=1}^{\infty } \text{Li}_{-2 n}\left(e^{-j}\right)=-\psi _e^{(2 n)}(1)$$

donde:

$\text{Li}_{-2 n}\left(e^{-j}\right)$ es la función polilogaritmo,

$\psi _e^{(2 n)}(1)$ es la derivada n-ésima de la Función q-digamma .

Código de Mathematica:

Sum[k^(2 n)/(Exp[k] - 1), {k, 1, Infinity}] == -QPolyGamma[2 n, 1, E]

donde E es la constante exponencial.