¿Cómo es diferente en el caso de una secuencia de puntos de $\mathbb{R}^n$ frente a una secuencia de funciones en un espacio de función continuidad?

Question

Para cualquier función continua $f(x)$ tenemos que $$ (*) \quad \quad \lim_{x\to x_0} f(x) = f(\lim_{x\to x_0}x) = f(x_0). $$ Debido a esto, siempre he creído que por la continuidad de la norma de la función, para una secuencia de funciones de $f_n$ convergentes a alguna función $f$, que se podría decir $$ (**) \quad \quad \lim_{n\to \infty} ||f_n||_p = || \lim_{n\to \infty} f_n||_p = ||f||_p. $$ Entonces, ¿hay una diferencia entre el$(*)$$(**)$? No estamos autorizados a realizar la conmutación de los límites en $(**)$, aunque la norma es continua?

En una nota relacionada también siempre he pensado que podríamos hacer lo siguiente para una secuencia de funciones en un espacio de Hilbert: $$ \lim_{n\to \infty} \langle f_n, g \rangle = \langle \lim_{n\to \infty} f_n, g \rangle = \langle f, g \rangle. $$ Es esto también no es cierto?

Answer 1

En el marco de análisis funcional, se necesita entender la notación $$ \lim_{n\to\infty}f_n=f\etiqueta{1} $$ con los contextos, ya que hay diferentes modos de convergencia. Generalmente, (1) se entiende como la norma de la convergencia en algún espacio de Banach. Para otros modos de convergencia, uno podría escribir $$ f_n\f\quad\hbox{ [en cierto modo]} $$ donde [en cierto modo] podría ser "casi en todas partes", "pointwise", "medida", "débil", etc. suponiendo que uno tiene extra de estructuras apropiadas.

La declaración de ($**$) en su pregunta debe interpretarse precisamente como

si $f_n\to f$ norma $\|\cdot\|_p$, lo que significa por definición que $\|f_n-f\|_p\to 0$,$\|f_n\|_p\to\|f\|_p$.

Esto puede ser fácilmente demostrado por la desigualdad de triángulo: $$ |\|f_n\|_p-\|f\|_p|\leq \|f_n-f\|_p. $$

De nuevo, en $$ \lim_{n\to \infty} \langle f_n, g \rangle = \langle \lim_{n\to \infty} f_n, g \rangle = \langle f, g \rangle,\etiqueta{2} $$ la notación $\lim_{n\to \infty} f_n=f$ debe ser entendida como el proceso de convergencia en el espacio de Hilbert, es decir, la convergencia en norma inducida por el producto interior. Se trata de un simple ejercicio de Cauchy-Schwarz: $$ |\langle f_n,g\rangle-\langle f,g\rangle|\leq \|f_n-f\|\cdot \|g\|. $$