Resolver

Question

No he visto esta pregunta, pero si alguien lo tiene, sería muy apreciado si podría enviar un enlace!

He estado muy interesado en la integración de MIT, y una pregunta que se destacaron para mí fue:

$$ \int_0^2 \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}dx $$

Traté de escribir un par de formas de simplificarlo, pero nada parecía ayudar. Según la web oficial del MIT integración Bee, la respuesta es %#% $ #%

¡Gracias!

Answer 1

Formalmente justificar esta integración, puede hacer lo siguiente. Para cada una de las $n$, puesto $f_{n+1}(x) = \sqrt{x + f_{n}(x)}$, y poner $f_1(x) = \sqrt x$. Queremos mostrar que $f(x) = \lim_{n\to\infty}f_n(x)$ existe y es integrable en a $[0,2]$.

Poner $x_n = f_n(x)$. Pretendemos que $x_n\to \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{4x+1}$. En primer lugar vamos a justificar la convergencia de la secuencia de $(x_n)$ el uso de la monotonía teorema de convergencia y, a continuación, utilice límite algebraico leyes para deducir su límite de rigor.

Considerar la secuencia de $b_{n+1} = \sqrt{2 + b_n}$ donde $b_1 = \sqrt 2$. Claramente $b_1 \le 2$. Supongamos que $b_n\le 2$; a continuación,$\sqrt{2 + b_n} \le \sqrt{2 + 2} = 2$. Por inducción, $b_n \le 2$ por cada $n$. Así, la secuencia $(b_n)$ está acotada arriba por $2$. La secuencia de $(b_n)$ es claramente monótono. Por lo tanto $(b_n)$ converge.

Desde $(x_n)$ es monótona y acotada arriba por $\lim_{n\to\infty}b_n$, converge, a fin de establecer $L = \lim_{n\to\infty}x_n$. Desde $(x_n)$ converge, cada subsequence converge, por lo que por la continuidad del mapa $y\mapsto y^2$,$L^2 = (\lim_{n\to\infty}x_{n+1})^2 = \lim_{n\to\infty}x_{n+1}^2 = \lim_{n\to\infty}x + x_n = x + L$. Por lo tanto, $L$ es una raíz del polinomio $y\mapsto y^2 - y - x$, y podemos concluir que $$ L = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{4x+1}. $$ (Tenga en cuenta que $L$ podría no ser el negativo de la raíz, ya que el negativo de la raíz es negativo, mientras que el $x_n > 0$ por cada $n$.) Por lo tanto hemos demostrado que el integrando $\sqrt{x+\sqrt{x+\dotsb}}$ es igual $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{4x+1}$. Esta función es continua, y por lo tanto integrable en $[0,2]$, como se desee.

Answer 2

Informal, si establece a la igualdad radical anidada a $y$ una observación a hacer es tenemos $$y = \sqrt{x+y}.$$ This leads us to $$y^2-y-x=0.$$ Looking at the positive solution to this, we have $$y = \frac{1}{2}(\sqrt{4x+1}+1).$$ So, we integrate the $y$ that we just found over the interval from 0 to 2 to achieve $\frac{19}{6}.$

Tenga en cuenta que es muy informal. Sospecho que no es necesario justificar convergencia en medio de la abeja de integración del MIT.