Producto de números naturales consecutivos

Question

Dejemos que $n,k$ sean dos números naturales, $n\ge k+2$ y $$(n-k-1)(n-k)(n-k+1)(n-k+2)=k(k+1)n(n+1).$$ En el LHS tenemos el producto de 4 números consecutivos y en el RHS tenemos el producto de 2 números consecutivos sobre el producto de 2 números consecutivos.

El problema. Demostrar que $k,k+1,n,n+1$ también son números consecutivos.

Mi intento. Todos los factores están en orden creciente. Supongamos que $n-k-1=k$ entonces $n=2k+1$ y en adelante podemos reducir los productos a $k(k+1)(k+2)(k+3)=k(k+1)n(n+1)$ o $(k+2)(k+3)=n(n+1)=(2k+1)(2k+2)$ Tenemos productos iguales de dos 2 números consecutivos por lo que implica que $k+2=2k+1$ y obtenemos una solución $k=1, n=3$ .

Cómo demostrar que el caso $n-k-1 \neq k$ ¿es imposible?

Answer 1

Dejemos que $a:=n-k\ (\ge 2)$ .

Entonces, tenemos $$(a-1)a(a+1)(a+2)=k(k+1)(k+a)(k+a+1)$$ Esto se puede escribir como $$(2k^2+2ka+2k+a)^2=4a^4+8a^3-3a^2-8a$$

Ahora, para $a\gt 2$ tenemos $$(2a^2+2a-2)^2\lt 4a^4+8a^3-3a^2-8a\lt (2a^2+2a-1)^2$$ de donde tenemos que $4a^4+8a^3-3a^2-8a$ no puede ser un número cuadrado para $a\gt 2$ .

Por lo tanto, tenemos que tener $n-k=a=2$ .

De ello se deduce que $k,k+1,n,n+1$ son números consecutivos.