probar que el ABCD es también un cuadrado

Question

Lo que sabemos es que: 1. El ABCD es un cuadrilátero. 2. El área roja es un cuadrado. 3. AH=BE=CF=DG

La cuestión es probar que el ABCD también es un cuadrado. Me he dado cuenta de que los cuatro triángulos aquí AHG, DGF, EFC y HBE tienen la misma longitud de hipotenusa y también AH = DG = CF = BE, así que si puedo probar ∠ A, B, C, D son 90°, entonces cuatro triángulos son congruentes. Entonces sabré que cuatro lados, AB, BC, CD, DA tienen la misma longitud, entonces puedo probarlo. El problema es que no sé cómo probar que los ángulos A,B,C,D son de 90 grados. Gracias.

Answer 1

Si uno de los ángulos en $A$ , $B$ , $C$ , $D$ es un ángulo recto, entonces es fácil probar que todos son ángulos rectos y $ABCD$ es un cuadrado. Supongamos entonces que ninguno de ellos es un ángulo recto: al menos uno de ellos ( $ \angle GAH$ por ejemplo) debe ser entonces obtuso. Demostraré que esto lleva a una contradicción.

Deje que $N$ ser el pie de la perpendicular de $G$ a la línea $AH$ . Como $ \angle GAH>90°$ entonces $AH<NH$ .

Deje que $M$ ser el pie de la perpendicular de $E$ a la línea $BH$ Entonces, tenemos $EM \le EB$ . Pero los triángulos $EMH$ y $HNG$ son congruentes (porque tienen $ \angle NGH= \angle MHE= \pi /2- \alpha $ , $ \angle NHG= \angle MEH= \alpha $ y $GH=HE$ ), por lo tanto: $$ AH < NH = EM \le EB $$ que está en contradicción con la hipótesis $AH=EB$ .

Answer 2

PISTA: probar que los triángulos $$FCE=EBH=HAG=GDF$$ son congruentes

Answer 3

Pista: extender el lado $AD$ y $EF$ . Digamos que se cruzan en el punto $X$ . Entonces puedes ver que $ \angle {XFG}=90°$ y $ \angle {DXF} \cong\angle {AGH}$ . ¿Puedes encargarte desde aquí?

Answer 4

Esquema de la prueba:

• Si $ABCD$ es un rectángulo, entonces es fácil mostrar que también es un cuadrado (triángulos congruentes).
• Si $ABCD$ no es un rectángulo, entonces uno de los ángulos $A,B,C,D$ es obtuso. W.l.o.g., $A>90^{ \circ }$ .
  • Entonces la distancia de la línea $AB$ para señalar $E$ es mayor que $|AH|$ .
  • Así que.., $|BE|>|AH|$ contradicción.

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Más detallado:

primero, dibuja el caso con el ángulo recto $ \angle A$ :

Toma nota de eso:

• punto $A$ está en el semicírculo $GAH$ (con el diámetro $GH$ );
• línea $GA$ es tangente al círculo naranja;
• línea $AB$ es tangente al círculo azul;
• $|AH|=|BE|$ .

Ahora, el punto de construcción $A'$ de tal manera que $|AH|=|A'H|$ y $ \angle GA'H>90^{ \circ }$ :

Punto $A'$ pertenece a la circunferencia naranja, y está dentro del semicírculo $GAH$ (dentro de $ \triangle GAH$ también).
Así que $ \angle A'HG< \angle AHG$ por lo tanto, el rayo $A'H$ no puede cruzar el círculo azul.
Así que cualquier segmento $B'E$ (donde $B'$ pertenece al rayo $A'H$ ) tiene una longitud mayor que $|BE|$ .

Aquí llegamos a la contradicción: si $ \angle GA'H$ es obtuso, entonces $|B'E|>|A'H|$ .