Encontrar el valor mínimo de $a^2+b^2+c^2$

Question

Dejemos que $a$ , $b$ y $c$ sea $3$ números reales que satisfacen $2 \leq ab+bc+ca$ . Encuentre el valor mínimo de $a^2+b^2+c^2$ .

He intentado resolver esto, pero no sé muy bien cómo enfocarlo. He pensado en $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)$ pero eso me da $a+b+c$ que se desconoce. ¿Cómo puedo resolver esto?

Answer 1

Obsérvese que al Desigualdad de medias aritméticas y geométricas lo sabemos:
$$ 2ab \leq a^2+b^2; \\ 2ac \leq a^2+c^2; \\ 2bc \leq b^2+c^2; $$

por lo que podemos concluir que: $$ 2\left(ab+ac+bc\right) \leq 2\left(a^2+b^2+c^2\right) \Longrightarrow \\ \ \ \left(ab+ac+bc\right) \leq \ \ \left(a^2+b^2+c^2\right) \Longrightarrow \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2 \leq \ \ \left(a^2+b^2+c^2\right) . $$

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Obsérvese que esta inecuación es aguda para $a=b=c=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ ;
para lo cual se puede ver el valor de $a^2+b^2+c^2$ es igual a $2$ .

Answer 2

La respuesta de Famke es la más sencilla; sin embargo, también podemos utilizar un argumento variacional.

Para todas las variaciones que mantienen $ab+bc+ca=2$ tenemos $$ (b+c)\,\delta a+(a+c)\,\delta b+(a+b)\,\delta c=0\tag{1} $$ Para minimizar $a^2+b^2+c^2$ Debemos tener $$ 2a\,\delta a+2b\,\delta b+2c\,\delta c=0\tag{2} $$ para todas las variaciones que satisfagan $(1)$ .

La ortogonalidad dice que para tener $(2)$ para todas las variaciones que satisfagan $(1)$ necesitamos $$ 2a=\lambda(b+c),\quad2b=\lambda(a+c),\quad\text{and}\quad2c=\lambda(a+b)\tag{3} $$ Sumando todo esto, obtenemos que $\lambda=1$ y resolviendo las ecuaciones, obtenemos que $a=b=c$ . Por último, para satisfacer la restricción de $(2)$ , obtenemos que $a=b=c=\sqrt{\frac23}$ . Así, el mínimo de $a^2+b^2+c^2$ es $2$ .

Answer 3

Producto escalar:

Dejemos que $\vec A : = (a,b,c)$ , $\vec B: = (b,c,a)$ .

$|\vec A \cdot \vec B| \le |A| |B| $ .

$\Rightarrow$ :

$2 \le ab +bc + ca \le a^2 +b^2 + c^2$ .

La igualdad:

$a=b=c = \sqrt{\frac{2}{3}}$ .

Answer 4

Puede resolver este problema con su paso inicial.

De hecho, por C-S $$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc).$$ Así, $$3(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)$$ o $$a^2+b^2+c^2\geq ab+ac+bc$$ y como $ab+ac+bc\geq2,$ obtenemos: $$a^2+b^2+c^2\geq2.$$ La igualdad se produce para $(1,1,1)||(a,b,c)$ y $ab+ac+bc=2$ ,

que dice que $2$ es un valor mínimo.

Answer 5

De nuevo de Cauchy-Schwarz desde una perspectiva diferente

$\sqrt{a^2c^2}+\sqrt{b^2c^2}+\sqrt{a^2c^2} \leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

$a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ac \ge 2$

$a^2+b^2+c^2 \ge 2$

La desigualdad se mantiene para $a=b=c=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$