Estoy tratando de leer un artículo de Jean Dieudonné, que habla sobre el desarrollo de la Geometría Algebraica. El artículo fue publicado en la revista "Avances en Matemáticas", Volumen 3, número 3, Páginas 233-413 (julio de 1969). Uno puede encontrar el artículo del enlace http://www.sciencedirect.com/science/journal/00018708/3/3
Cito del artículo:
Lo que nos lleva a asociar con cada variedad $V$ un anillo finito de tipo $A = K[X_1, \dots, X_n]/\mathfrak a$, donde, por el bien de la simplicidad, se asume que el campo $K$ es algebraicamente cerrado. Nuestro problema es establecer una correspondencia uno a uno entre algebraicas y geométricas de los objetos. Dado un punto de $z\in V$, se asocia con el conjunto de todas las funciones en $V$ que se desvanecen en $z$; este conjunto es un ideal maximal en $A$. Una subvariedad $W$ $V$ está definido por un ideal $\mathfrak b$ que contiene $\mathfrak a$: el conjunto de todas las funciones en $V$ que se desvanecen en $W$ constituye un ideal en $A$, y asociamos este ideal con la subvariedad $W$.
En la dirección opuesta, dado un algebraicamente cerrado campo de $K$ y un anillo finito de tipo $A = K[X_1, \dots, X_n]/\mathfrak a$, queremos asociar con una gran variedad $V$. Por lo que precede, es natural considerar como los puntos de $V$ los elementos de la máxima espectro de $\operatorname{Specm}(A)$$A$, es decir, la máxima ideales de $A$. Esto, sin embargo, no dan una correspondencia uno a uno entre algebraicas y geométricas de los objetos, ya que para cualquier campo de $K$ no correspondería la variedad que consta de un punto. Una forma de corregir esta situación es de nuevo sugerido por Riemann, enfoque que considera los anillos $A_z$ formado por las funciones en $V$ que no tiene polos en $z$. Por lo tanto, podemos tomar como elementos de la geometría del objeto que desea asociar con el anillo de la $A$, los pares de $(\mathfrak m, A_{\mathfrak m})$ donde $\mathfrak m$ es un ideal maximal de a $A$ $A_{\mathfrak m}$ es el anillo local en $\mathfrak m$. De esta manera, para los diferentes campos obtenemos diferentes pares de $(z, K)$.
No entiendo "Esto, sin embargo, ciertamente no dar un uno-a-una vez que la correspondencia entre expresiones algebraicas y geométricas de los objetos,ya que para cualquier campo de $K$ no correspondería la variedad que consta de un punto." y todo lo que él dice que después de que se acerca considerando el anillo local en un ideal maximal.
Por favor alguien puede aclarar.
