Equivalencia de dos multiconjuntos de números naturales

Question

Quiero mostrar que los dos multisets de números naturales dados por :

$\{4m^2+(2n+1)^2\}$ $m,n \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$

y

$\{2(k+l+1/2)^2+2(l+1/2)^2\}$ $k,l \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$

son iguales como multisets (es decir, para permitir repeticiones). Estos dos multisets surgir como espectros de algunos de los dominios que tengo la sospecha de ser isospectral. Uno puede calcular los primeros elementos, que ambos comienzan con

$\{1,5,9,13,17,25,25,29, ... \}$

y numéricamente se compromete además a lo largo de así.

Mi primer acercamiento fue asumir que $m,n$ se puede escribir como combinación lineal de los $k,l$ y viceversa, pero si dicha transformación existe, el $2$a$2$ matriz de tener sólo un número entero positivo entradas y su inversa tendría sólo un número entero positivo entradas así y la única matrices con estas propiedades son de permutación de matrices que no trabajan aquí.

Answer 1

$\forall k,l \in \mathbb{N}$,

$$ 2(k+l+\frac{1}{2})^2+2(l+\frac{1}{2})^2=2(k^2+l^2+\frac{1}{4}+k+l+2kl)+2(l^2+l+\frac{1}{4})$$

$$ = 2k^2+4l^2+2k+4l+4kl+1$$

$$ = k^2+4l^2+1+4kl+4l+2k+k^2$$

$$ = (k + 2 l + 1) ^ 2 + k ^ 2$ $

Cuando $k=2m$, la expresión se convierte en, $(2(m+l)+1)^2+4m^2$.

Ahora describir $l$ $\mathbb{N}$ $2(m+l)+1$ para describir el conjunto de números impares.

Cuando $k=2n+1$, la expresión se convierte en $ (2(n+l+1))^2+(2n+1)^2$.

El % restante $l$no permite a todos los nulos incluso números.

Answer 2

Al primer aviso de que: $$ \{ 4m^2+(2n+1)^2 \} _{m,n \in \mathbb{Z}_{\ge 0}} = \{ 4m^2+(2n+1)^2 \} _{m,n \in \mathbb{Z}} ; $$

también tenga en cuenta que:

$$ \{ 2(k+l+1/2)^2+2(l+1/2)^2 \} _{k,l \in \mathbb{Z}_{\ge 0}} = \{ 2(k+l+1/2)^2+2(l+1/2)^2 \} _{k,l \in \mathbb{Z}} . $$

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Observe que : $2a^2+2b^2=(a+b)^2+(a-b)^2$; así que podemos concluir que:

$$ 2(k+l+1/2)^2 + 2(l+1/2)^2 = (2l+k+1)^2 + k^2 \Longrightarrow \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \{ 2(k+l+1/2)^2+2(l+1/2)^2 \} _{k,l \in \mathbb{Z}} = \{ (2l+k+1)^2+k^2 \} _{k,l \in \mathbb{Z}} . $$

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Reclamo: $ \{ 4m^2+(2n+1)^2 \} _{m,n \in \mathbb{Z}} \subseteq \{ (2l+k+1)^2+k^2 \} _{k,l \in \mathbb{Z}} . $
Prueba: Deje $k:=2m$$l:=n-m$; uno puede ver que: $$ (2l+k+1)^2+k^2 = (2n+1)^2+(2m)^2 . $$

Reclamo: $ \{ (2l+k+1)^2+k^2 \} _{k,l \in \mathbb{Z}} \subseteq \{ 4m^2+(2n+1)^2 \} _{m,n \in \mathbb{Z}} . $
Prueba:

• Si $k$ es, incluso, le $m:=\dfrac{k}{2}$$n:=l+\dfrac{k}{2}$; uno puede ver que: $$ (2n+1)^2+(2m)^2 = (2l+k+1)^2+k^2 . $$

• Si $k$ es impar deje $m:=l+\dfrac{k+1}{2}$$n:=\dfrac{k-1}{2}$; uno puede ver que: $$ (2m)^2+(2n+1)^2 = (2l+k+1)^2+k^2 . $$