Que $K$ ser un campo, ¿cómo puedo clasificar todos los módulos indescomponible hasta isomorfismo sobre el anillo $R = K [x] / (x^n ) $?
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BenjaminBallard
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Como se ha señalado por user26857, sabemos por el teorema de estructura de para finitely módulos generados durante un director ideal de dominio que cualquier finitely generado indecomposable módulo a través de $R$ es isomorfo a $K[x]/(x^i)$ algunos $i\in \{1,\ldots, n\}$.
Usando el axioma de elección, podemos demostrar que cualquier indecomposable $R$-módulo es finitely generado, lo que demuestra que el anterior clasificar todos los indecompsable módulos.
Deje $M$ ser un indecomposable $R$-módulo. Es útil tener en cuenta que todos los elementos de a $R$ tiene la forma$\lambda x^i$, $\lambda$ invertible. El aniquilador de $M$ $R$ tiene la forma $(x^m)$ algunos $m\in\{1, \ldots, n\}$. Deje $z\in M$ ser tal que $x^{m-1}z \neq 0$. Vamos a demostrar que $z$ genera $M$.
Deje $X$ el conjunto de submódulos de $M$ que han trivial intersección con $M$. Entonces cualquier cadena en $X$ tiene un límite superior, es decir, la unión de los submódulos de la cadena. Por el lema de Zorn, $X$ admite un elemento maximal $V$.
Vamos ahora a demostrar que $M=Rz\oplus V$. Asumir el contrario, y deje $w\in M\setminus (Rz\oplus V)$.
Si $Rw\cap(Rz\oplus V)$ es trivial y, a continuación, $(Rw+V)\cap Rz$ es trivial así, contradiciendo la maximality de $V$.
Por lo tanto $Rw\cap(Rz\oplus V)$ no es trivial; deje $p$ ser el entero más pequeño tal que existe un elemento no nulo $x^pw = \lambda x^qz+v$, $\lambda\in R$ invertible y $v\in V$. Tenga en cuenta que $p\leq q$, ya que el $0=x^{m-p}x^pw=\lambda x^{m-p+q}z + x^{m-p}v = 0$ implica que el $x^{m-p+q}z=0$, lo que implica que $m-p+q \geq m$.
Considerar el elemento $w-\lambda x^{q-p}z$. El reclamo es que el $R(w-\lambda x^{q-p}z)+V$ ha trivial intersección con $Rz$. De hecho, vamos a $x^t(w-\lambda x^{q-p}z) + u = \mu x^s z$ ser un elemento de esta intersección, con $u\in V$ $\mu\in R$ invertible. A continuación,$x^tw \in Rz\oplus V$, lo $t\geq p$ por minimality de $p$. Por lo tanto $x^t(w-\lambda x^{q-p}z) + u = \mu x^s z$ es a la vez un elemento de $V$ e de $Rz$, y así es cero.
Por lo tanto, $R(w-\lambda x^{q-p}z)+V$ ha trivial intersección con $Rz$, y por maximality de $V$,$w-\lambda x^{q-p}z = 0$. Por lo tanto $w\in Rz$, contradiciendo la suposición de que $w\in M \setminus (Rz\oplus V)$.
Por lo tanto $M= Rz\oplus V$, y desde $M$ es indecomposable, $V=0$. Hemos demostrado que cualquier indecomposable módulo a través de $R$ es generado por un elemento, y por lo tanto que la lista de indeomposable módulos en la parte superior de este post es la lista completa de indecomposable $R$-módulos.
