¿Un Grupo topológico debe tener una uniformidad de fabricación todas las operaciones de grupo uniformemente continuo?

Question

Deje $G$ ser un grupo topológico. $G$ viene equipado con una izquierda (resp. derecho) uniformidad $\mathscr{L}$ (resp. $\mathscr{R}$) que puede ser caracterizado como el más áspero de la homogeneidad que es compatible con la topología y que hace que $x \mapsto gx$ (resp. $x \mapsto xg$) de manera uniforme un mapa continuo $G \to G$ todos los $g \in G$.

Edit: Mi pregunta es, ahora sólo:

Hay necesariamente una uniformidad en $G$ compatible con la topología que hace todo a la izquierda y a la derecha de la multiplicación de los mapas uniformemente continua? Los puntos de bonificación si la multiplicación $G \times G \to G$ (con la uniformidad del producto en $G \times G$) es uniformemente continua o de la inversión es continua.

Como Harry Altman señala, no debe ser (como en cualquier uniformizable espacio) una mejor uniformidad $\mathscr{U}$ $G$ compatible con la topología. Desde la uniformidad en $G$ a (completa) de celosía también hay una más tosca uniformidad $\mathscr{V}$ refino tanto $\mathscr{L}$$\mathscr{R}$. Cualquier uniformidad que responde a mi pregunta debe sentarse entre el$\mathscr{V}$$\mathscr{U}$. Tal uniformidad es automáticamente compatible con la topología, ya que se sentará entre, digamos, $\mathscr{L}$$\mathscr{U}$, que es compatible con la topología.

Answer 1

De hecho, es cierto dado cualquier uniformizable topológica del espacio, hay una única mejor uniformidad en él. En cuanto a tu pregunta acerca de la existencia de más tosca común de refinamiento, ya que la colección de uniformidad en un conjunto forma una red (de hecho, uno completo), seguro que hay más tosca posible refinamiento de los dos - la única pregunta es si, si todos los de uniformidad que comenzó con el rendimiento de la misma topología, sus más tosca-posible-común-refinamiento también debe. Pero ya que de ello se derive la uniformidad se intercala entre el original de uniformidad, y una aún más la uniformidad con la misma topología, debe ceder la topología original así. Para las pruebas de todo esto, sólo voy a referir a la Topología General por Willard...

Así que sí, habrá más tosca posible refinamiento de los dos, y aún así el rendimiento de la misma topología. Qué características tiene con respecto a la multiplicación y la inversión, no tengo idea.

Edit: me puede añadir algo más de información sobre el ya mencionado de uniformidad. Obviamente, si tenemos a la izquierda la uniformidad, y la traducción correcta es uniformemente continua (o viceversa), el grupo debe tener el equivalente de uniformidad. Menos obviamente, teniendo en cuenta las dos caras de la homogeneidad (las mencionadas más tosca que contiene tanto a la izquierda y a la derecha, la cual es generada por los conjuntos de $\{(x,y):xy^{-1}\in U, x^{-1}y\in U\}$ de los barrios de la identidad U), si a la izquierda de la traducción es uniformemente continua en el que, una vez más, la uniformidad debe ser el mismo (este es un rápido cálculo utilizando la anterior caracterización de la misma; voy a omitir a menos que usted realmente quiere ver).

Así que el más áspero que contiene tanto no funcionará a menos que ya eran de la misma. Ahora, si el grupo es localmente compacto, también habrá una mejor figura en ambos, pero no tengo idea como a las propiedades de este. (Tenga en cuenta que hay una mejor uniformidad de contenido en tanto, independientemente de si el grupo es localmente compacto, pero si no es localmente compacto creo que no hay ninguna garantía de que usted recibirá de vuelta de la topología con el que comenzó, lo que hace que no sea muy útil).

Answer 2

Voy a agregar otra respuesta basada en la respuesta a esta pregunta sobre MathOverflow (gracias a Todd Eisworth y Julien Melleray), y algunas otras cosas.

La respuesta a tu modificado pregunta es sí.

Dado un topológicos, grupos, uno puede tomar el cumple de su izquierda y a la derecha de la homogeneidad para obtener el Roelcke uniformidad. Aunque cumple de uniformidad son repugnantes en general, en este caso el resultado es bastante agradable y nos obtenga el original de la topología de la espalda. El Roelcke la uniformidad puede ser descrito simplemente como la uniformidad generados por los séquitos $\{ (x,y): x\in VyV\}$ $V$ una vecindad del origen. Y, de hecho, la Roelcke uniformidad hace que tanto la izquierda y la derecha de la traducción uniformemente continua, así como de la inversión, por lo tanto para responder a tu pregunta.

No sé si, o en qué medida la Roelcke uniformidad hace que la multiplicación de mapa como un todo uniformemente continua, pero no funciona con ambos tipos de traducciones (y la inversión), tal y como quería.

(Por el contrario, si usted toma la combinación de las dos de uniformidad como he sugerido originalmente, para obtener las dos caras de la homogeneidad, mientras que esto hace a la inversión uniformemente continua, no hace a la izquierda de la traducción o a la derecha de la traducción uniformemente continua a menos que el grupo fue equilibrado para empezar (es decir, la izquierda y la derecha uniforme de la estructura de la misma). Esto es a pesar del hecho de que en general se une de uniformidad son mucho mejores que cumple de uniformidad.) Este párrafo está tachado porque ver los comentarios. Creo que en realidad, no hace tanto de ellos uniformemente continua? Una base para esta uniformidad es la séquitos $\{(x,y): x^{-1}y, xy^{-1}\in V\}$ $V$ una vecindad del origen.

Una buena fuente de este material parece ser Topológicos, Grupos y Estructuras Relacionadas por Arhangel'skii y Tkachenko.