¿Por qué el símbolo de Legendre no está definido para $p = 2$ (incluso principal)?

Question

¿Por qué el símbolo de Legendre no está definido para $p = 2$ (incluso principal)?

¿Según la definición de la Legendre símbolo $$\left(\frac a p\right)$$ it is defined for an odd prime $p $ only. Even thus the case where $p = 2 $ is an even prime is not particularly interesting, why are the restriction made that $p$ debe ser un primer impar?

Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_symbol

Answer 1

No existe una manera de definir lo que ayuda a formular la ley de la reciprocidad cuadrática, que es lo que Legendre estaba tratando de hacer cuando en la presentación de su símbolo.

Como estoy seguro de que usted observó, cada $a$ es una ecuación cuadrática de residuos mod 2, pero 2 no es un residuo cuadrático módulo cada módulo o módulo cada primer módulo. Así informática cuando 2 es una ecuación cuadrática de residuos de mod $p$ es interesante (para los impares primos $p$), pero la informática al $p$ es una ecuación cuadrática de residuos mod 2 es trivial.

Agregado: Si queremos definir el símbolo de Legendre para $p=2$, sólo en aras de la exhaustividad, la definición natural sería $(a/p) = 1$ $a$ impar y $(a/p) = 0$ $a$ incluso. Es importante que tengamos en cuenta que la reciprocidad cuadrática sólo funciona con dos impares, números primos, por lo que la omisión de $p=2$ a partir de la definición del símbolo de Legendre es justificable para evitar cualquier confusión sobre este punto. Lo que esto hace "hacer el trabajo" es el multiplicativo carácter del símbolo, es decir, $(ab/p) = (a/p)(b/p)$ ahora también al $p=2$.

Answer 2

El % del símbolo de Legendre $(a/p)$es un carácter multiplicativo del campo finito de orden $p$, $\mathbb{F}_{p}$. Desde mapas en $\pm 1$ es del orden de $2$. Carácter multiplicativo de $\mathbb{F}_{p}$ tiene que tener orden dividiendo $p-1$, por lo que el símbolo de Legendre se define solamente correctamente cuando $p$ es impar.

Usted puede hacer una definición arbitraria de $p = 2$, pero sin las propiedades interesantes de carácter multiplicativo, su definición es poco probable ser matemáticamente interesantes.