Qué es un camino de muestra de un proceso estocástico

Question

Dado un espacio de probabilidad ($\Omega, \mathcal{F}, P$) y un espacio medible ($S,\Sigma$), y una S con valores de proceso estocástico { $X_t : t \in T$ }(asumir todos los $X_t$ es yo.yo.d). ¿Qué hace una muestra de las rutas de decir? A partir de la definición, es el de la función en $T$ para el rango de el proceso que asigna a cada una de las $t$ $X_t(\omega)$ donde $\omega$ es un dado previamente punto fijo en el dominio del proceso.

Pero si el $\omega$ es fijo, entonces el valor de cada una de las $X_t$ debe ser el mismo, que no parece cierto. ¿Cuál es el problema aquí?

Answer 1

Puede ayudar a mirar algunos ejemplos de rutas de acceso. De Bernt Øksendal de Ecuaciones Diferenciales Estocásticas:

La imagen muestra las cinco de la muestra caminos de un movimiento Browniano geométrico proceso de $\{X_t\}_{t\ge0}$. Los caminos son diferentes de las funciones de $t$. Cada uno de ellos muestra los valores de $X$ bajo de un resultado específico ($\omega_1,\dots,\omega_5$ ) en el espacio muestral $\Omega.$

Aviso por el contrario, que el valor esperado $E[X_t]$ del proceso también es dibujado (como una función suave de $t$), y que no es una ruta de ejemplo; en vez de ser el resultado de cualquier resultado, se obtiene un promedio de más todos de ellos de acuerdo a la ley del proceso.

Answer 2

Cada variable aleatoria $X_t$ es un $\mathcal F$-función mensurable $\omega\mapsto X_t(\omega)$ $\Omega$ $S$. El proceso estocástico $X$ por lo tanto puede ser visto como una función de dos variables $\Omega\times T\ni (\omega,t)\mapsto X_t(\omega)\in S$. Para cada % de fijo $\omega\in\Omega$tenemos la función parcial $t\mapsto X_t(\omega)$; Este es el camino de la muestra de $X$ correspondiente a la muestra punto $\omega$.

Answer 3

El problema es que ha simplemente no es cierto "entonces el valor de cada $X_j$ debe ser el mismo".

Hmm. ejemplo: decir $\Omega=[0,1]$ $P$ igual a la medida de Lebesgue. Definición de $X,Y:\Omega\to\Bbb R$ $X(t)=t$ y $Y(t)=1-t$. $X$ Y $Y$ son iid, $X(\omega)\ne Y(\omega)$.